miércoles, 31 de diciembre de 2008

Cómo usar la nota de los exámenes de cada tema

En esta entrada pido sugerencias de cómo usar la nota obtenida en los exámenes que se van haciendo de cada tema para la nota del primer cuatrimestre. Os recuerdo que hay un examen del primer cuatrimestre el 28 de enero. Para esa fecha se habrán realizado cuatro exámenes de cada tema. La cuestión es cómo tiene que influir la nota de éstos en la nota del examen del cuatrimestre.

En general, hay que recompensar (con nota) el esfuerzo realizado. Un ejemplo son aquellos alumnos que van aprobando casi todos los exámenes. Pero también para los alumnos que van suspendiendo casi todos los exámenes, a los cuales habría que enviar un mensaje de que, a pesar de todo, ha merecido la pena.

Pongo dos ejemplos de sugerencia sin ánimo de influir. Sea NT la media de los cuatro exámenes.
  1. Si NT es 6, ese alumno no hace el examen cuatrimestral y tiene esa nota para dicho examen (siempre podría subir nota).
  2. Si NT es 3. Entonces en la nota del cuatrimestre se le suma el 50% de NT, es decir, 1.5.

Ruego que las sugerencias aparezcan en el blog, para que todos opinen y sepan qué opinan los demás.

Topología producto y separación

En esta entrada se trata de estudiar qué ocurre si tenemos dos espacios topológicos $(X,T)$, $(Y,T')$ que cumplen una determinada propiedad de separación ¿se conserva esa propiedad en la topología producto? Veremos dos casos:

1. Separación de puntos por entornos disjuntos (propiedad $T_2$). Un espacio satisface la propiedad $T_2$ si para cada dos puntos distintos existen entornos para cada punto y disjuntos entre sí. Esta propiedad se conserva en la topología producto, es decir, si $(X,T)$ e $(Y,T')$ satisfacen la propiedad $T_2$, entonces el espacio producto $(X\times Y,T\times T')$ satisface también dicha propiedad. Para ello, sean $(x,y)$ e $(x',y')$ dos puntos distintos de $X\times Y$. Entonces $x\not= x'$ o $y\not=y'$. Supongamos, por ejemplo, el primer caso. Entonces, por hipótesis, existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $x'$ respectivamente tal que $U\cap V=\emptyset$. Entonces $U\times Y$ y $V\times Y$ son entornos de $(x,y)$ y $(x',y')$ respectivamente tal que $(U\times Y)\cap (V\times Y)=\emptyset$.

Pregunta. ¿es cierto el recíproco? es decir, supongamos que XxY, con la topología producto satisface la propiedad $T_2$; entonces ¿$(X,T)$ e $(Y,T)$? satisfacen ambos la propiedad T_2?

2. Propiedad $T_1$. Un espacio satisface la propiedad $T_1$ si para cada dos puntos distintos $x$ y $x'$ existe un entorno $U$ de $x$ tal que $x'$ no pertenece a U, o existe un entorno V de $x'$ tal que $x$ no pertence a $V$. Esta propiedad se conserva en la topología producto, es decir, si $(X,T)$ e $(Y,T')$ satisfacen la propiedad T_1, entonces el espacio producto $(X\times Y,T\times T')$ satisface también dicha propiedad. Para ello, sean $(x,y)$ e $(x',y')$ dos puntos distintos de $X\times Y$. Entonces $x\not= x'$ o $y\not=y'$. Supongamos, por ejemplo, el primer caso. Entonces, por hipótesis, o existe un entorno $U$ de $x$ tal que $x'\not\in U $ o existe un entorno $V$ de $x'$ tal que $x\not\in V$. Entonces el entorno $U\times Y$ de $(x,y)$ o el entorno $V\times Y$ de $(x',y')$ satisface la propiedad que estamos buscando para los pares $(x,y)$ y $(x',y')$.
(por Isabel Moreno)

lunes, 29 de diciembre de 2008

Nuevos enlaces en el blog

En el blog hay algunas novedades, que se concretan en más enlaces.

"Libros y material docente en la red". Aquí se encuentra apuntes de topología realizado por otros profesores. Hay que pasar un rato hojeando dichas páginas para encontrar lo que uno quiere. Es cuestión de dedicarle un tiempo. La mayor parte de los documentos están en formato pdf y pueden imprimirse fácilmente.

"Enlaces interesantes". Son páginas para conocer algo más sobre topología, ampliar conocimientos y curiosidades.

"Mi lista de blogs": sólo hay un blog, gaussianos. Es una página para aquéllos muy enchufados con las matemáticas y quieran dedicarse el tiempo a romperse la cabeza. Cuando se plantea un problema, es muy interesante los comentarios de las personas que intentan resolverlos.

martes, 23 de diciembre de 2008

Topología producto y límites direcciones

Se sabe estudiar la continuidad de una aplicación que llega a un espacio producto: es continua si y sólo si al componer con las correspondientes proyecciones, tenemos sendas aplicaciones continuas.

¿Qué decir de la continuidad de una aplicación cuyo dominio es un espacio producto? Se puede definir los límites direccionales. Sea $f:X\times Y\rightarrow Z$ una aplicación. Para cada $x\in X$ se define $f_x:Y\rightarrow Z$ como $f_x(y)=f(x,y)$. De la misma forma se definen aplicaciones $f^y:X\rightarrow Z$ para cada $y\in Y$. Es evidente que si $f$ es continua, entonces las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ son continuas: por ejemplo, $f_x=i_x\circ f$ donde $i_x:Y\rightarrow Z, \ i_x(y)=(x,y)$. La aplicación $i_x$ es continua y $f_x$ es continua por ser composición de aplicaciones continuas.

Por tanto, "una condición necesaria para que $f$ sea continua es que las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ sean continuas, para cada $x$ e $y$".

Sin embargo no es suficiente. Por ejemplo, la aplicación $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ con las topologías usuales y dada por $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y)$ no es $(0,0)$ y $f(0,0)=0$ no es continua en $(0,0)$. Sin embargo las aplicaciones $f_x$ y $f^y$ son continuas.

Concluimos pues que el estudio de la continuidad de una aplicación con dominio en un espacio producto se trata de una forma totalmente diferente a si estuviera el producto en el codominio de la aplicación.

domingo, 21 de diciembre de 2008

Topología producto y topología del punto excluido

Consideramos R con la topología T del punto excluido para el punto p=0. ¿Cuál es la relación entre la topología $T\times T$ y la topología T' del punto excluido de R^2 para el punto $q=(0,0)$.

Sea $O\times G$ un abierto de TxT y sea $(x,y)\in O\times G$. Vamos a encontrar un abierto $A$ de $T'$ tal que $(x,y)\in A\subset O\times G$. Esto probaría que $T\times T$ está incluida en T' (es menos fina). Caben varias posibilidades:

  1. Ni x ni y son p=0. Entonces tomamos $A=\{(x,y)\}$, el cual pertenece a T'.
  2. Caso $(x,0)$, y $x\not=0$. Entonces $G=\mathbb{R}$. En tal caso tomamos $A=\{x\}\times R$. El caso (0,x) es análogo.
  3. Caso $(0,0)$. Entonces debe ser $O=G=\mathbb{R}$. Sea $A=\mathbb{R}^2.

La inclusión $T'\subset T\times T$ no es cierta: el conjunto $A=\{(1,0\}$ pertenece a T', pero no hay ningún abierto del tipo $O\times G$ de $T\times T$ tal que $(1,0)\in O\times G\subset A $.


Se puede hacer un razonamiento para todo lo anterior, pero usando bases de entornos.

sábado, 20 de diciembre de 2008

Proyecto de Innovación Docente

Os quiero comunicar que este blog es ahora un "Proyecto de Innovación Docente" dentro del Plan de Calidad de la UGR. En dicho Plan aparece: "...la Universidad de Granada continúa su política de apoyo a las iniciativas que, en materia docente, se realizan en el ámbito de la innovación. El objetivo primordial es la mejora de la docencia en nuestra Universidad, con el compromiso de conseguir los niveles de calidad y excelencia necesarios para una adecuada formación y capacitación de los estudiantes".

He escrito literalmente este parrafo para indicar qué se espera del blog. Por ello la idea del mismo va a cambiar en algunos aspectos. El primero, e importante para el alumno, es que la participación en el blog se va a valorar bastante más, tanto en comentarios como en entradas.

También se va a ofrecer la posibilidad de trabajar en el diseño, en los contenidos del blog, y en futuros desarrollos. Un problema en la publicación en un blog de matemáticas es cómo hacer para que aparezcan los símbolos matemáticos. Por ello se va a ofrecer un curso rápido y breve en LaTeX (editor de textos), justo para lo que necesitamos. Este curso va a ser muy útil en el futuro de un licenciado de matemáticas.

Al final del curso habrá que hacer una evaluación del blog, conclusiones y resultados. Probablemente salga todo ello en algún tipo de publicación. Pienso que la colaboración vuestra en el mismo podrá ser de gran utilidad en vuestra formación como matemático.

viernes, 19 de diciembre de 2008

¡ FELIZ NAVIDAD !


Deseo a todos los alumnos de la asignatura (y otros visitantes) una Feliz Navidad y un feliz año 2009. Que comáis mantecados, munchos masapanes (de Montoro), que bebáis, os divirtáis y, sobre todo, que descanséis.

También os animo a que participéis en el blog =) y que estudiéis un poquito, al menos para el exámen ;)

viernes, 12 de diciembre de 2008

Topología producto: conjuntos cerrados

En la topología producto, el producto de cerrados es un conjunto cerrado, pero no todos los conjuntos cerrados son producto de cerrados. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ con la topología producto de la usual (de nuevo la usual), el conjunto $F=\{(x,x);x\in \mathbb{R}\}$ es un conjunto cerrado pues $F=f^{-1}(0)$, $f(x,y)=y-x$. Sin embargo $F$ no es producto de dos cerrados de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ con la topología usual .

Lo mismo sucede con el conjunto $F=\{(x,1/x);x\in R-\{0\}\}$, pues $F=f^{-1}(\{0\})$ y $f(x,y)=xy-1$. Por otro lado, si p(x,y)=x es la primera proyección de $\mathbb{R}^2$ sobre R, entonces $p(F)=R-\{0\}$, lo que prueba que las aplicaciones proyecciones no tienen porqué ser aplicaciones cerradas.

miércoles, 10 de diciembre de 2008

Topología producto: palabras que suenan bien

En la topología producto...

El producto de abiertos es un conjunto abierto, pero no todos los abiertos de la topología producto son producto de abiertos. El producto de cerrados es un conjunto cerrado, pero no todos los conjuntos cerrados son producto de cerrados.

El producto de bases es una base del producto, pero no todas las bases del producto son producto de bases. Dado $(x,y)$, el producto de entornos es un entorno de (x,y), pero no todos los entornos de $(x,y)$ son producto de entornos.

En la topología usual de $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ puede verse esto con claridad: el producto IxJ de intervalos abiertos es un conjunto abierto (un rectángulo relleno sin su borde). Sin embargo, una bola abierta es un conjunto abierto, pero no es el producto cartesiano de abiertos de R.

Con las topologías conocidas, uno se puede preguntar si las palabras suenan bien. Por ejemplo ¿el producto de las topologías discretas es la topología discreta en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías triviales es la topología trivial en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías de los complementos finitos es la topología de los complementos finitos en el producto cartesiano? ¿el producto de las topologías del punto incluido es la topología del punto incluido en el producto cartesiano?

miércoles, 3 de diciembre de 2008

Transformación de abiertos por una aplicación continua

Recordemos que una aplicación entre dos espacios topológicos es continua si la imagen inversa de todo abierto es abierto. Por otro lado, ¿qué podemos decir de la imagen de un abierto mediante una aplicación continua? es decir, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y\tau')$ es una aplicación continua y $O$ un abierto de $X$ ¿$f(O)$ es abierto en $Y$? En general, la respuesta es no: tomemos la aplicación constante $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=0$. La imagen de un intervalo abierto $(a,b)$ es $\{0\}$ que no es abierto en R.

Tampoco podemos decir que si O' es un abierto de Y y f(O)=O' entonces O es un abierto de $X$: sea $g:X=R\rightarrow Y=\{0\}$ la aplicación constante. Entonces $O'=\{0\}$ es abierto en $Y$, $g(\{1\})=O'$, pero $\{1\}$ no es abierto en $X$.

Supongamos ahora que f es, además, una aplicación biyectiva. Si $O'$ es un abierto de $Y$, llamamos $O=f^{-1}(O')$. Ya que $f$ es continua, O es un abierto de $X$. Además, la imagen de $O$, $f(O)$, coincide con $O'$ (por ser $f$ biyectiva). Por tanto, para este abierto $O$ su imagen sí es abierto en $Y$. Sin embargo, no todos los abiertos de $X$ son imágenes inversas de abiertos de $Y$ (incluso si $f$ es biyectiva). Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Consideramos en R la topología usual Tu y la topología trivial Tt. Sea la aplicación identidad h:(R,Tu)\rightarrow (R,Tt) , $h(x)=x$. La aplicación es continua ya que llega al espacio trivial y es, además, biyectiva. Sin embargo la imagen de un abierto no es abierto: $(0,1)$ es abierto en (R,Tu) y su imagen $h((0,1))=(0,1)$ no es abierto de $(\mathbb{R},Tt)$.

Otro ejemplo es el mismo que el anterior pero cambiando Tt por la topología de los complementos finitos Tcf (h es continua porque la imagen de un cerrado es cerrado). De nuevo $h((a,b))=(a,b)$ no pertenece a Tcf. (por Ágata A. Timón)

domingo, 30 de noviembre de 2008

Más sobre propiedades topológicas

Sea $(X,T)$ un espacio topológico que no satisface una propiedad topológica (P1). Todo espacio homeomorfo a $(X,T)$ no satisface tampoco (P1). Si $(Y,T')$ no satisface (P1) podría ser o no ser homeomorfo. Tener un gran número de propiedades topológicas nos permite distinguir dos espacios topológicos.

Sea $X$ un conjunto (infinito) y denotamos por Tcf la topología de los complementos finitos y por Tt la topología trivial. Los espacios topológicos $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no satisfacen la propiedad (P1) de "separar puntos por entornos disjuntos".

Consideramos la propiedad (P2) siguiente: "los entornos de cada punto son conjuntos finitos". Es evidente que dicha propiedad es topológica. De nuevo, los espacios $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no satisfacen ambos la propiedad (P2): para $(X,Tt)$ es evidente pues $X$ es el único entorno de cada punto y cada entorno en la topología Tcf, debe contener un abierto que es de la forma $X-F$, con $F$ un conjunto finito.

Definamos la siguiente propiedad topológica (P3): un espacio topológico $(X,T)$ satisface (P3) si dados dos puntos distintos existe, para alguno de dichos puntos, un entorno que no contiene al otro. El espacio $(X,Tcf)$ satisface (P3), pues si $x$ e $y$ son puntos distintos, tomamos $U=X-\{y\}$, que es entorno de $x$ y no contiene a $y$. Sin embargo, $(X,Tt)$ no satisface (P3) porque el único entorno de cada punto es el propio conjunto $X$. Como conclusión, $(X,Tcf)$ y $(X,Tt)$ no son homeomorfos.
(Por Concepción Rodríguez Roca)

sábado, 29 de noviembre de 2008

Las bolas no son homeomorfas entre ellas

En un espacio métrico $(X,d)$ las bolas no son homeomorfas entre ellas, aún teniendo el mismo centro. Esto choca con la idea intuitiva que tenemos de las bolas del plano $\mathbb{R}^2$ (con la distancia usual): las bolas son redondas, redondas de toda la vida.
Ejemplos son los siguientes:

1) Tomamos el subconjunto de $\mathbb{R}$ dado por $X=\{0\}\cup [1,2]$ con la distancia usual. La bola B_1(0)=\{0\} tiene sólo un elemento y la bola $B_2(0)=\{0\}\cup[1,2)$ tiene infinitos. Por tanto no es que no sean homeomorfos, es que ni son biyectivos.

2) En $\mathbb{R}$ tomamos la distancia discreta. Entonces $B_{1}(0)=\{0\}$ y $B_2(0)=\mathbb{R}$. De nuevo no son homeomorfos.

Cuando se ha probado que las bolas de $\mathbb{R}^2$ son homeomorfas entre ellas, se ha encontrado explícitamente un homeomorfismo entre una y otra de la forma $f(x)= r x+p$, con $r > 0$ y $p$ un vector de $\mathbb{R}^2$. Para definir este homeomorfismo, es fundamental la estructura afín del plano euclídeo (para poder sumar puntos y multiplicar por escalares, y no salirse del espacio). Por ejemplo, con la aplicación $f$ anterior no se puede escribir $f:X\rightarrow X$ con $X=\{0\}\cup [1,2]$.

jueves, 27 de noviembre de 2008

"Ser o no ser...homeomorfos"

La técnica para probar que dos espacios son homeomorfos es completamente distinta a la de probar que no lo son. Para el primer caso, si $X$ e $Y$ son dos espacios topológicos de los cuales sospechamos que sí son homeomorfos hay que encontrar explícitamente un homeomorfismo entre ellos. La dificultad radica en definir dicho homeomorfismo.

Por el contrario, si lo que se quiere es probar que no son homeomorfos, hay que encontrar una propiedad topológica (P) que satisfaga uno de los espacios pero no el otro. En esta situación lo que hay que tener es un gran número de propiedades topológicas que podamos testar con cada unos de los espacios, hasta encontrar una que nos sirva.

Por otro lado, si (P) es una propiedad topológica que satisface ambos espacios topológicos, entonces no podemos deducir nada. Es más, espacios que no son homeomorfos pueden satisfacer ambos algunas propiedades topológicas.

Consideremos $X=[0,1]$ e $Y=(0,1)$, ambos con la topología usual. Como $X$ e $Y$ son espacios métricos satisfacen la propiedad (P) de separar puntos por entornos disjuntos. Esto nos quiere decir que debemos buscar otra propiedad. La propiedad (Q) de que toda función continua alcanza un máximo la satisface $X$, pero no $Y$. Por tanto $X$ e $Y$ no son homeomorfos.

Sea ahora el conjunto de los números reales R con la topología discreta $\tau_D$ y la topología usual $\tau_u$. Entonces $(\mathbb{R},\tau_D)$ y $(\mathbb{R},\tau_u)$ no son homeomorfos. Uno puede sospechar que basta con estudiar la aplicación identidad. Hay que decir que no es suficiente. Sabemos que la aplicación identidad de $(\mathbb{R},\tau_u)$ a $(\mathbb{R},\tau_D)$ no es un homeomorfismo, pero podría haber otro homeomorfismo (distinto de la identidad) entre ambos espacios topológicos.

Supongamos que hay un homemorfismo f entre $(\mathbb{R},\tau_D)$ y $(\mathbb{R},\tau_u)$. Se toma el conjunto $A=\{1\}$. Este conjunto es abierto en $(\mathbb{R},\tau_D)$ pero su imagen, a saber, $f(A)=\{f(1)\}$, es un conjunto formado por un único número y por tanto, no es abierto en la topología usual $\tau_u$. Concluimos que ambos espacios no son homeomorfos (en verdad se está usando la siguiente propiedad topológica (P): "todo conjunto del espacio es abierto".)

miércoles, 26 de noviembre de 2008

El concepto de convergencia de sucesiones es topológico

Consideramos en el conjunto de los números reales R la sucesión
.

1. Con la topología usual esta sucesión converge a 0.

2. Con la topología de Sorgenfrey esta sucesión NO converge a 0: tomando como entorno de 0 el intervalo $U=[0,1)$, la sucesión no cae dentro de U a partir de algún lugar.

3. Con la topología a derechas, la sucesión NO es convergente a 0: de forma parecida a antes, se toma U=[0,infinito).

4. Con la topología de los complementos finitos, la sucesión converge a cualquier número, por ejemplo, a 80: sea U=R-F un entorno cualquiera de 80, donde F es un conjunto finito de puntos (y 80 pertenece a U). Es evidente que a partir de un cierto lugar, toda la sucesión cae dentro de U (observad que R-F es todo R salvo un conjunto finito de puntos).
En este caso, hay infinitos límites.

5. Con la topología del punto incluido, con $p=0$, la sucesión es NO convergente: un entorno de 0 es . Es evidente que la sucesión no cae dentro de U. Es más, la única sucesión convergente a $0$ es la que es constantemente 0 a partir de un cierto lugar.

6. Con la topología del punto excluido, con p=0, la sucesión es convergente a $0$: el único entorno de $0$ es R.

jueves, 20 de noviembre de 2008

Sobre la continuidad de una aplicación definida "a trozos".


1. La función
dada por f(x)=1 si y f(x)=-1 si es continua, es decir, es continua en todo punto. Esto se debe a que en cada intervalo y , la aplicación es continua, al ser constante. Como cada uno de los intervalos es un abierto en $X$, entonces $f$ es continua. También se puede probar la continuidad de f punto a punto, usando epsilons y deltas.

2. Sea Q el conjunto de los número racionales e I, el de los irracionales. La aplicación f:R->R definida por $f(x)=0$ si $x\in \mathbb{Q}$ y $f(x)=1$ si $x$ es irracional no es continua (es más, no es continua en ningún punto). Esto se puede probar usando límites laterales. Obsérvese que Q e I no son conjuntos abiertos de R (ni ambos son cerrados).

3. Sea f:R->R una aplicación que no sea continua. Sea A_x={x}, para cada número real x. Es evidente que la restricción de f a A_x es continua (es constante). Por otro lado, la recta real es unión de todos los A_x, y cada uno de estos conjuntos son cerrados. Pero no podemos usar el teorema ya que R no es unión finita de cerrados.

4. Sea $A=\{0,1\}$ y B=R-{0}. Se define la aplicación f:R->R mediante $f(x)=x$ si $x\in A$ y $f(x)=1$ si $x\in B$. La restricción de $f$ en $A$ es continua pues es la restricción de la identidad. La restricción de $f$ a $B$ es continua, al ser constante. Sin embargo $f$ no es continua en x=0 (tomando límites laterales). Obsérvese que ni $A$ y $B$ son abiertos de R, y ni $A$ ni $B$ son cerrados de R.

lunes, 17 de noviembre de 2008

Ejercicios para subir nota

Después del examen del tema 1, he pensado que para que los alumnos tenga una motivación mayor a la hora de hacer ejercicios, voy a proponer la realización de un ejercicio de topología a cambio de una mayor nota en los exámenes.

La idea es la siguiente.

  • El alumno que desee tendrá asignado un ejercicio (por ahora, del tema 1).
  • Después de hacerlo, se lo resolverá al profesor en la pizarra o en un papel. Esto se hará en horas de tutoría y en un tiempo aproximado de veinte minutos.
  • Por la resolución del ejercicio, el alumno tendrá un (1) punto más en el examen del tema siguiente.
  • Si no lo hiciera bien, lo volvería a intentar en días posteriores.
  • La solución del ejercicio debe estar escrita, con sus correspondientes razonamientos y detalles. Dicha solución se dejará para ser fotocopiada por el resto del curso.
  • Desde que se asigna el ejercicio, hasta exponerlo se dejará una semana.
  • Se empieza este martes con aquellos alumnos que hayan suspendido el examen. La próxima semana se empezaría con la exposición de las soluciones.

Tengo pensado que los alumnos hagan al menos dos ejercicios antes del examen. Los alumnos que hayan aprobado pueden también acogerse a este plan. Mejor me parece que éstos, en vez de hacer un ejercicio, hagan una entrada al blog.

  • En consonancia con el "estilo" del blog, un alumno puede proponer al profesor una "entrada" para ser publicada al día siguiente.
  • Tendría que ser sobre un asunto tratado en el momento de realizar la entrada.
  • El alumno lo escribe en un papel , me lo da, y yo lo escribo en el blog.
  • Cada entrada sería un (1) punto en el examen del tema siguiente.

jueves, 13 de noviembre de 2008

La continuidad es un concepto topológico

La noción de función continua que se da en primer curso de carrera hace intervenir la distancia usual de la recta real: d(x,y)=x-y. Sin embargo y como se ha puesto de manifiesto al comienzo del tema 2, el concepto de continuidad es topológico al poder expresarse en términos de entornos de un punto. Mostramos esto con dos ejemplos.

El plano R^2 tiene tres distancias equivalentes, es decir, las topologías determinadas por ellas (las que tienen por base las bolas) coinciden. Estas distancias son:



Si escribimos en términos de epsilons y deltas la definición de continuidad en un punto, aparecerían tres expresiones "diferentes" ya que habría que hacer intervenir las distancias anteriores. Sin embargo sabemos que las "definiciones" son equivalentes, es decir, una función es continua para una distancia si y sólamente es continua para cualquiera de las otras dos.

El segundo ejemplo dice que, fijando el conjunto, pero cambiando la topología, una función puede ser continua para una topología y no para la otra. Como ejemplo tenemos el siguiente. Sea dada por f(x,y)=x^2+y^2. En R consideramos la topología usual. En R^2 consideramos la topología usual T_1 y la topología de los complementos finitos T_CF. Entonces es continua, ya que es una función polinómica (esto es conocido del Cálculo). Sin embargo no es continua porque: es un cerrado de R y el conjunto no es cerrado en la topología de los complementos finitos ya que no es finito (dicho conjunto es una circunferencia).

lunes, 10 de noviembre de 2008

Tocando el infinito

Sea p un objeto y R la recta real. Consideramos el conjunto X mediante
. Definimos una base de abiertos en X del siguiente modo: . Sea T la topología que determina beta.

Se tiene los siguiente hechos:

1) La topología inducida en R es la topología usual de R.
2) Una base de entornos de p es .

Podemos ver p como el infinito (el símbolo ) del siguiente modo. Recordemos que del Cálculo el infinito aparece como un símbolo al indicar una sucesión "que tiende a infinito". Exactamente, una sucesión a_n tiende a infinito si . Veamos que esta sucesión "converge a p". Para ello, sea U un entorno de p de la base de entornos, es decir, para un cierto número natural m y probamos que, a partir de un cierto lugar, la sucesión cae dentro U. Sea M>m. Entonces, para .

Por tanto, tenemos que si y sólo si . Podemos, pues, identificar p con el infinito.

martes, 4 de noviembre de 2008

No todo vale en topología

En el curso se han dado varias bases de topologías en el plano R^2. Algunos ejemplos son:
beta: las bolas; beta_1: las rayas verticales; beta_2: las rayas horizontales; beta_3: las rayas oblícuas a 45 grados; beta_4: las bandas horizontales; beta_5: las bandas verticales, y así sucesivamente.

Parece ser que uno puede coger cualquier "tipo" de conjunto, y probar que es una base. Pues no. No todo vale en topología.

Una familia que sí es base es el conjunto de los hexágonos de R^2: por "hexágono" nos referimos la parte de dentro de un hexágono, y los hexágonos son tomados de todos los tamaños y colocados a lo largo del plano. Es más, la topología que genera es la topología usual (eso ya se ha visto en la anterior entrada del blog, tomando como manchurrón M un hexágono concreto).

Una familia de subconjuntos del plano que no forman una base es la familia de cuadrados: por "cuadrado" nos referimos a un cuadrado como polígono (sólo los lados). Por un lado, es evidente que la primera propiedad de base se satisface, ya que la unión de todos los cuadrados es todo el plano. Sin embargo, no es cierta la segunda propiedad. Tomamos dos cuadrados y lo intersecamos. La intersección es un número finito de puntos (uno o dos). Entonces dado un punto de la intersección (uno de esos puntos) no es posible hallar un cuadrado entre el punto y la intersección.

Otro ejemplo de familia que no es base es la familia de todos las cruces: por una "cruz" entendemos la unión de una recta vertical y de otra horizontal. Un razonamiento análogo al anterior prueba que no es base para ninguna topología.

La topología de los manchurrones es la topología usual

Consideramos un manchurrón M en el plano R^2 (suponemos que el borde de M no está incluido). Tomamos todas las homotecias y traslaciones de M, es decir, estamos tomando todos los manchurrones que son ampliaciones o disminuciones de M (homotecias) y todas sus copias (traslaciones). Llamamos beta el conjunto de todos estos manchurrones.

La familia beta es base de una topología T de R^2. Si tomamos dos manchurrones M_1 y M_2 y un punto x en su intersección. Entonces entre la intersección de M_1 y M_2 y x es posible colocar enmedio un manchurrón.

La topología T es la topología usual. Para ello, usamos él criterio de Hausdorff. Sea Beta el conjunto de todas las bolas euclídeas de R^2 (que genera la topología usual). Es evidente que dada una bola y un punto suyo, enmedio existe un manchurrón. Recíprocamente, si x es un punto de un manchurrón, es posible colocar una bola enmedio.

domingo, 26 de octubre de 2008

Formas de hallar el interior de un conjunto

No hay una manera estándar de hallar el conjunto de puntos interiores de un conjunto en un espacio topológico. Con esta entrada en el blog lo que quiero indicar es que, al menos, para los ejemplos de espacios topológicos que se han dado en el curso hay, en cierto sentido, algunos métodos para hallar el interior del conjunto. Algunos consejos son:

1. Lo primero, y esto es muy importante, hay que saber de qué forma se da el espacio topológico, me refiero a si lo que se conoce son los abiertos, los cerrados, una base de la topología, los entornos o una base de entornos. De esta forma, tendremos que usar la caracterización correspondiente de punto interior. Por ejemplo, si se tiene los abiertos, un punto x es interior a un conjunto si existe un abierto O tal que . Si lo que se tiene es base de entornos, entonces x será interior si existe V de la base de entornos tal que .

2. Haber trabajado anteriormente con el espacio topológico, es decir, estar familiarizado con él. Esto se habrá conseguido si se ha hecho ejercicios en dicho espacio topológico.

3. Si se conoce bien los abiertos, entonces se puede usar el hecho de que el interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto dentro del conjunto. Esto se ha visto en R con la topología .

4. Puede hacerse "punto por punto". El interior de un conjunto es un subconjunto del mismo. Por tanto, habría que ir punto a punto del conjunto y preguntarse si es interior o no. En R con la topología usual puede hacerse por ejemplo para el conjunto A=[0,1]. Es claro que los puntos del intervalo (0,1) son interiores. Sólo habría que estudiar si 0 y 1 lo son.

5. En R^n con la topología usual, un dibujo nos permite saber cuáles son los puntos interiores. En este caso, usamos base de entornos en cada punto (bolas centradas en el punto) y las bolas son fáciles de dibujar. Cuando uno hace un dibujo tiene que tener claro si lo que se está haciendo es un punto general, o el punto tiene alguna característica especial.

jueves, 23 de octubre de 2008

Las bolas dependen de las distancias (aunque éstas sean parecidas)

Sea un espacio métrico (X,d) y A un subconjunto de X. Sea d' la distancia inducida en A. Dado a en A, las bolas B_r(a) de a en (X,d) no son las mismas que las bolas B_r^A(a) en (A,d'). Una bola del primer tipo la forma puntos x de X con . Para las otras, son puntos x de A tal que . Exactamente se tiene que
.

Un ejemplo es el siguiente. Sea X=R con la distancia usual y sea . Tomamos a=0. Entonces
,

Si tomamos a=2, se tiene y

Sea la topología de (X,d) y la de (A,d'). El conjunto A tiene, en principio dos topologías. Una es (la que proviene de la distancia d'); la otra es , es decir, la relativa de . Lo que se ha probado hoy es que ambas coinciden.

miércoles, 22 de octubre de 2008

Cuidado con la topología relativa

Consideramos $X=\mathbb{R}$ con la topología usual y $A=[0,1)\cup\{3\}$. Véamos que el conjunto $B=[0,1)$ es abierto y es cerrado en A. Basta con darse cuenta de que $B=[0,1]\cap A$ y $B=(-1,1)\cap A$.

Sin embargo el conjunto B no es ni abierto ni cerrado en $\mathbb{R}$.

Un ejemplo en $\mathbb{R}^2$ (con la topología usual) es el siguiente. Sea $A=[0,1]\times[0,1)\cup\{(4,4)\}$ y $B=[0,1]\times [0,1)$. Este conjunto no es ni abierto ni es cerrado en $\mathbb{R}^2$. Sin embargo es abierto y es cerrado en A, ya que $B=B_3(0,0)\cap A$ y $B=\overline{B_3(0,0)}\cap A$.

En otras topologías sucede lo mismo. Por ejemplo, se considera $\mathbb{R}$ con la topología que tiene por base $\beta=\{(a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. Sea $A=[0,3]$ y se considera el conjunto $B=(2,3]$. Este conjunto no es abierto en $\mathbb{R}$. Sin embargo es abierto en A ya que
$B=A\cap (2,\infty)$. Por otro lado, $B=\{0\}$ no es cerrado en $\mathbb{R}$ pero sí lo es en A ya que $B=(-\infty,0]\cap A$.

Conclusión: al considerar la topología relativa en un conjunto A (subconjunto de un espacio topológico X), el hecho de ser abierto o cerrado un subconjunto suyo respecto de la topología inducida en A no tiene relación con ser abierto o cerrado en el espacio topológico ambiente X.

martes, 21 de octubre de 2008

Sobre un pequeño detalle

En R^2 consideramos dos topologías T_1 y T_2 dadas respectivamente por las bases


Volvamos a probar que T_1 está incluido en T_2 para observar un pequeño detalle. Por el criterio de Haussdorff, hay que probar que dado (z,t) en B_r(x,y), hay que entontrar un elemento tal que .

En particular, B_2 tiene que ser de la forma . Por tanto, y como , esto implica que b=t.

El detalle es el siguiente. El número a no tiene porqué ser z. En verdad, existen muchos (infinitos) conjuntos B_2 que satisfacen la propiedad. La cuestión es que para probar lo que queremos, basta con encontrar uno. Por tanto, y por cuestión de hacer mejor la demostración, vamos a tomar a=z. En tal caso, si tomamos entonces


¡En un dibujo está más claro!