viernes, 27 de febrero de 2009

Ejemplos de espacios arco-conexos

1) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología de los complementos finitos $\tau_{CF}$ es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos se define una curva $f:[0,1]\rightarrow X$ mediante $f(t)=(1-t)x+ty$. Para probar la continuidad, veamos que la imagen inversa de cerrados es cerrado en $[0,1]$. Los conjuntos cerrados en $\tau_{CF}$ son los conjuntos finitos. Como $f$ es biyectiva, la imagen inversa de un conjunto finito es finito, el cual es también un cerrado en la topología usual de $[0,1]$.

2) El conjunto de números reales $\mathbb{R}$ con la topología a derechas es arco-conexo. Si $x,y$ son dos puntos (p.ej. $x<y$), se define $f(t)= y, \mbox{si\ } t>1/2,\ f(t)=x\mbox{ si\ } t\leq 1/2$. Esta aplicación es continua: hay que probar que O:=f^{-1}([a,\infty)) es abierto en $[0,1]$. Si $y<a$, $O$ es vacío; si $x<a$, $O=(1,2]$, que también es abierto; si $a\leq x$, $O=[0,1]$, que de nuevo es abierto.

miércoles, 25 de febrero de 2009

Diferentes formas de probar que la esfera es conexa

Recordamos las diferentes maneras de demostrar que una esfera es conexa (y arco-conexa).

1) Sea $p\in \mathbb{S}^n$ y $A=\mathbb{S}^n-\{p\}$. Se sabe que $A$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ (por ejemplo, mediante la proyección estereográfica). Además $A$ es denso en la esfera, es decir, $\overline{A}=\mathbb{S}^n$. Se tiene un resultado que dice que si A es conexo, también lo es su adherencia. Por tanto la esfera es conexa. En este caso particular, no hemos probado que sea arco-conexa, ya que, en general, la adherencia de un conjunto arco-conexo no tiene porqué ser arco-conexa.

2) El círculo $\mathbb{S}^1$ es conexo, pues $\mathbb{S}^1=f(\mathbb{R})$, donde $f(t)=(\cos(t),\sin(t)).$ Como la recta real es conexa y la imagen de un espacio conexo mediante una aplicación continua es conexa, entonces el círculo es conexo. Probamos ahora que $\mathbb{S}^n$ es conexo por inducción sobre $n$. Supongamos cierto hasta n. Para probar que $\mathbb{S}^{n+1}$ es conexa veamos que dos puntos arbitrarios se unen mediante un conexo $A$. Sean $p$ y $q$ dichos puntos y $P$ un hiperplano que contenga a $p,q$ y el origen. Entonces $A=P\cap\mathbb{S}^{n+1}$ es homeomorfo a $\mathbb{S}^n$, luego es conexo (por inducción). Por tanto $A$ es un conexo que contiene a $p$ y $q$. Todo lo anterior es válido para arco-conexión.

3) Veamos que dados p y q en la esfera, existe un conexo (en verdad, un arco), que los une. Supongamos que p y q son vectores ortogonales. Entonces basta elegir $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)q$. Es evidente que dicho arco une p y q en los instantes $t=0$ y $t=\pi/2$ y que la imagen del arco se encuentra en la esfera. Si no fueran ortogonales ni antípodas, sea $P=< p,q>$ el plano que determinan y sea $r\in ( p^\bot)\cap P$ con $|r|=1$. En particular, $r\in\mathbb{S}^n$. Entonces $\alpha(t)=\cos(t)p+\sin(t)r$ se encuentra en la esfera, está contenido en P, y por tanto, existe s tal que $\alpha(s)=q$. En el caso de que fueran antípodas, basta tomar cualquier plano que contenga a p y -p=q. Esto prueba que la esfera es arco-conexa, en particular, conexa.

4) El espacio $\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}$ es arco-conexo. Basta darse cuenta de que todo punto se une mediante un segmento con el punto $p=(0,\ldots,0,1)$ o el punto $q=(0,\ldots,0,-1)$ y que p y q se pueden unir mediante un arco. Se considera la aplicación $f:\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}\rightarrow\mathbb{S}^n$ dada por $f(x)=\frac{x}{|x|}$. Es evidente que esta aplicación es continua y que $f(\mathbb{R}^{n+1}-\{0\})=\mathbb{S}^n$. Como la arco-conexión se mantiene por aplicaciones continuas, la esfera es arco-conexa.

lunes, 23 de febrero de 2009

Espacio arco-conexo que no es localmente arco-conexo

Un espacio es localmente arco-conexo si todo punto tiene una base de entornos arco-conexos. A igual que pasaba con la propiedad de conexión, existen espacio que son arco-conexos, pero no localmente arco-conexos. En el caso de conexión, el ejemplo era $[0,1]\times [0,1]\cup_n\{[0,1]\times\{1/n\};n\in\mathbb{n}\}.$

El ejemplo para arco-conexión es el siguiente.

Sea $X_1=\{(x,\sin(\frac{1}{x})\};x>0\}$ y $X_2=\{0\}\times [-1,1].$ Se sabe que tanto $X_1$ como $X_2$ son arco-conexos, pero $X_1\cup X_2$ no lo es. Unimos un punto de $X_1$ con otro de $X_2$ mediante un segmento, por ejemplo, $X_3=[(1/\pi,0),(0,-1)].$ En particular, $X_3$ es arco-conexo.

Sea $X=X_1\cup X_2\cup X_3.$ Ver figura. Este espacio es arco-conexo, pues la intersección de $X_3$ con $X_1$ y con $X_2$ no es vacía. Sin embargo, el espacio no es localmente arco-conexo: el punto $(0,0)$ no tiene una base de entornos arco-conexas, ya que, para entornos "suficientemente pequeños", dichos entornos tienen una parte en $X_1$. otra en $X_2$ y ninguna en $X_3$, y por tanto, no son conjuntos arco-conexos.

domingo, 22 de febrero de 2009

Arco-conexión y teoría de conjuntos

Nos preguntamos cómo se comporta la propiedad de arco-conexión con las operaciones de teoría de conjuntos. Lo que viene a continuación también es válido para conexión.

1) Si dos conjuntos son arco-conexos, su unión no tiene porqué ser arco-conexos. Por ejemplo, los intervalos $(0,1)$ y $(1,2)$ son arco-conexos, pero su unión no es arco-conexa (no es conexa).

2) Si dos conjuntos son arco-conexos, su intersección no tiene porqué ser arco-conexa. En $\mathbb{R}^2$, consideramos una circunferencia $\mathbb{S}^1$ y $A$ y $B$ las dos semi-circunferencias $A=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\geq 0\}$ y $B=\mathbb{S}^1\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x\leq 0\}$. Entonces $A$ y $B$ son arcoconexos porque son homeomorfos a intervalos. Pero la intersección son dos puntos de $\mathbb{R}^2$, que no es arco-conexo (no es ni conexo).

3) Si un conjunto es arco-conexa, su conjunto complementario no tiene porqué ser arco-conexo. Por ejemplo, en $\mathbb{R}$, un punto es arco-conexo, pero su complementario (que no es intervalo), no es arco-conexo..

viernes, 20 de febrero de 2009

Los "segmentos" no son "arcos"

Si $x,y$ son dos puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ se define el segmento $[x,y]$ como $[x,y]=\{(1-t)x+ty;t\in[0,1]\}$ y la aplicación $\alpha:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n dada por $\alpha(t)=(1-t)x+ty es continua (con la topología usual), es decir, es un arco que une $x$ con $y$. Si cambiamos de topología, $\alpha$ puede dejar de ser continua.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología T del punto incluido con $p=2$. La aplicación $\alpha(t)=t$, que une $0$ y $1$, no es continua, pues $\{1,2\}\in T$ y $\alpha^{-1}(\{1,2\})=\{1\}$ no es abierto en $[0,1]$. Sin embargo $(\mathbb{R},T)$ es arco-conexo.

Tomamos en $\mathbb{R}$ la topología T del punto excluido, con $p=2$. La aplicación anterior no es continua pues $\{1\}\in T$ pero $\alpha^{-1}(\{1\})=\{1\}$ no es abierto en $[0,1]$. Este espacio también es arco-conexo.

Si se toma la topología discreta T en $\mathbb{R}^n$, la aplicación $\alpha(t)=(1-t)x+ty$ no es continua, pues $\{x\}\in T$ y $\alpha^{-1}(\{x\})=\{0\}$, que no es abierto.

Sea el conjunto $X=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;y\geq 0\}$ con la topología T del plano de Moore. La aplicación $\alpha(t)=(t,0)$ une el punto $(0,0)$ con $(1,0)$ y no es continua, pues si $B_t$ es un elemento de la base de entornos de $(t,0)$, $\alpha^{-1}(B_t)=\{t\}$, que no es abierto en $[0,1]$.

jueves, 19 de febrero de 2009

Curva de Peano y Sierpinski

Nos imaginamos los arcos como curvas "buenas", con un buen comportamiento. La curva de Peano nos dice que hay que tener cuidado. La curva de Peano es una curva continua $\alpha:[0,1]\rightarrow C=:[0,1]\times [0,1]$ tal que $\alpha([0,1])=C$, es decir, la curva rellena todo el cuadrado. Podéis ver dibujos de la curva aquí.

Otro ejemplo de curva rara es la curva de Sierpinski. En este caso la curva es cerrada ($\alpha(0)=\alpha(1)$), no se autointerseca, es decir, es inyectiva en $(0,1$). Finalmente, su imagen en densa en $C$, es decir, $\overline{\alpha(I)}=C.$

Esta curva está relacionada con el Problema del Viajante: dadas n ciudades, un punto de salida y otro final, encontrar el camino más corto que pase por todas las ciudades sólo una vez. Este problema no está resuelto hoy en día.

Las curvas anteriores tienen dimensión fractal entre 1 y 2, es decir, no son curvas como las que dibujamos en el papel. Ésta es la razón de ser "raras". Pero ¡son continuas!

miércoles, 18 de febrero de 2009

Arco-conexión versus conexión

Existe un matiz constructivo entre probar que un espacio es conexo y que sea arco-conexo. Para probar que un espacio es conexo hay que demostrar que no existe una partición por abiertos no trivial, y para ver si es arco-conexo hay que construir para cada dos puntos un arco que los une. Por tanto, en esta última situación hay que hallar explícitamente dicho arco.

Estaba claro en el ejemplo de clase que hemos visto hoy. Consideramos $X=\mathbb{R}^2-\mathbb{S}^1$. Este espacio no es conexo, pues $X=A\cup B$, siendo $A$ la bola $B_1(0,0)$ y $B$ la corona circular $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;x^2+y^2>1\}$. Tanto $A$ como $B$ son conjuntos abiertos del plano, luego son abiertos relativos de $X$ y forman una partición no trivial del mismo: el espacio no es conexo.

Veamos ahora que no es arco-conexo. No vamos a usar el resultado de que arco-conexo implica conexo, sino que vamos a probar explícitamente que no es posible encontrar arcos que unan puntos de $A$ con los de $B$. Sean $x$ e $y$ puntos de sendos conjuntos y sea $\alpha:[0,1]\rightarrow X$ un arco que une $x$ con $y$. Se define la aplicación $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ como $f(t)=|\alpha(t)|$. Esta aplicación es continua, pues $f=g\circ \alpha$ y g es la restricción a X de la aplicación $(x,y)\longmapsto\sqrt{x^2+y^2}$. Como $f(0)=x<1$ y $f(1)=y>1$, el teorema del valor intermedio asegura que existe $t$ tal que $f(t)=1$, en particular, $\alpha(t)\in\mathbb{S}^1$: contradicción.

Las componentes conexas de $X$ son $A$ y $B$, pues ambos son conexos (uno es convexo y el segundo es una corona, de la que se probó que era conexa -en verdad, arco-conexa-). Si $x\in A$, $A\subset C_x$. Si hubiera puntos de la componente en $B$, entonces podríamos escribir $C_x=(A\cap C_x)\cup (B\cap C_x)$ y C_x no sería conexo. Luego $A=C_x$. De la misma forma, $B$ es la otra componente conexa.

Las componentes arcoconexas de $X$ son también $A$ y $B$. En primer lugar, $A$ y $B$ son conjuntos arco-conexos. Por otro, si $x\in A$, $A\subset A_x\subset C_x=A$, probando $A=A_x$. De la misma forma, se prueba $B$ es la otra componente arcoconexa.

lunes, 16 de febrero de 2009

Más sobre nudos

Esta entrada sigue con la teoría de nudos. Recuerdo que un nudo es un espacio homeomorfo a un círculo. En el espacio euclídeo \mathbb{R}^3 se dice que dos nudos son equivalente si existe una serie de homeomorfismos del espacio que me lleva un nudo en otro. Un problema en topología es la clasificación de nudos, es decir, dados dos nudos, saber si son o no son equivalentes. Este problema es difícil, y es un problema topológico. He visto un artículo en Divulgamat, donde explica más sobre nudos, y no es muy difícil de leer.

Si uno tiene un nudo anudado, es posible desanudarlo en \mathbb{R}^4, es decir, existe una serie de homeomorfismos en \mathbb{R}^4 que me lleva dicho nudo en \mathbb{S}^1\times\{(0,0)\}. Esto es posible porque "a través" de la cuarta dimensión podemos deshacer el nudo. Es algo parecido a cuando en el plano, tenemos un polígono cerrado y dentro un objeto. Nos preguntamos si es posible (dentro del plano) sacar ese objeto del polígono, sin tocar el polígono: la respuesta es claramente no. Sin embargo, si insertamos el problema en \mathbb{R}^3, basta coger el objeto a partir de la dimensión "altura" y sacarlo limpiamente del polígono.

También se estudia conjuntos de nudos que se encuentra anudados entre sí, llamados enlaces.

El estudio de nudos tiene aplicaciones, no sólo en Matemáticas, sino en otros campos de la ciencia, por ejemplo, en biología. En la sección 5 del artículo citado anteriormente explica la relación de la teoría de nudos con el estudio de la molécula del ADN, concretamente en los procesos de réplica y combinaciones de las moléculas de ADN para formar otras. El tipo de proteínas afecta a la forma de anudarse las hélices que forman el ADN. Todo ello es interesante en biología e interesa saber qué tipos de enlaces pueden aparecer en estos procesos.

Para acabar, uno también puede estudiar nudos en otros espacios, por ejemplo, en la esfera \mathbb{S}^3 y de nuevo clasificar nudos (ahora dos nudos son equivalentes si existe una serie de homeomorfismos de \mathbb{S}^3 que me lleva uno en otro).

martes, 10 de febrero de 2009

Un poco de historia

En el siglo XIX, la matemática había llegado a un estado de caos y desacuerdo entre los matemáticos. Avanzar en la investigación se tornaba imposible. Muchos teoremas carecían de demostración adecuada. Ante tanta controversia, algunos matemáticos se reunieron para llegar a acuerdos y establecer mayor rigor en la matemática de la época.

Fue Georg Cantor a finales del siglo XIX quien introdujo una teoría que permitió situar a la matemática en un marco adecuado que proporcionaba demostraciones rigurosas. Conceptos como conjunto abierto y cerrado y entender los conjuntos como agrupaciones infinitas de puntos supusieron un punto de inflexión en el avance matemático.

A partir de este momento conceptos tan simples aparentemento como el de función, continuidad, derivabilidad, convergencia, etc. pudieron ser demostrados con rigor y aceptación en la comunidad matemática.

Finalmente fue Haussdörff quien introdujo el concepto de espacio topológico que todos conocemos. X un conjunto y T una familia de subconjuntos cumpliendo las propiedades que conocemos.

Si bien es cierto que fue Leibniz a finales del siglo XVIII quien introdujo las primeras ideas sobre Topología comentando que la geometría carecía del análisis de la posición adecuado, criticando en cierto modo a la Geometría Cartesiana que se basaba en magnitudes y medidas. Euler posteriormente también en el siglo XVIII encontró la solución al problema de los puentes de Königsberg.

Finalmente, con la teoría de variedades, la Geometría ha avanzado mucho también gracias a la Topología. Superficies famosas como la cinta de Möbius y la botella de Klein, derivan de aquí. ¡Incluso la conjetura de que el universo es una 3-esfera dada que es una 3-variedad conexa!

...La Topología marca un antes y un después en la historia de la matemática...


(por Renato Montoya)

lunes, 9 de febrero de 2009

Nudos

Un nudo es un espacio topológico homeomorfo a un círculo \mathbb{S}^1. Por tanto, es una curva cerrada que no se autointerseca. Si queréis ver nudos 'de la calle', lo podéis encontrar, por ejemplo, aquí.

En el plano euclídeo, se sabe que el conjunto complementario de un nudo tiene dos componentes conexas, una de las cuales es homeomorfa a una bola del plano y la otra, es una corona circular.
Pensemos ahora en un nudo C en el espacio euclídeo \mathbb{R}^3. La topología de conjunto \mathbb{R}^3-C depende de qué nudo se esté considerando. Concretamente, se dice que dos nudos son equivalentes si existe una serie de homeomorfismos de \mathbb{R}^3 que llevan un nudo en el otro. En particular, sus conjuntos complementarios son homeomorfos. Veamos la siguiente figura, que contiene dos nudos equivalentes, y son los más sencillos.




Estos nudos no están anudados. Los siguientes nudos no son equivalentes a los anteriores. Tampoco entre sí, es decir, no existe un homeomorfismo del espacio que me lleve uno en el otro. Se llaman nudos de tréboles.
Más información sobre nudos en Wikipedia, Wolfram MathWorld, y de nuevo, en "Juegos Topológicos".

domingo, 8 de febrero de 2009

La esfera cornuda de Alexander

Más sobre el teorema de la curva de Jordan. El teorema de la curva de Jordan tiene una continuación con el Teorema de Schönflies que dice lo siguiente. Recordemos que una curva de Jordan es un conjunto homeomorfo a un círculo \mathbb{S}^1, es decir, es una curva cerrada que no se autointerseca. Sea C una curva de Jordan del plano \mathbb{R}^2. Entonces las dos componente conexas \mathbb{R}^2-C son homeomorfas a las dos componentes conexas \mathbb{R}^2-\mathbb{S}^1. En particular, una de las componentes es homeomorfa a un disco abierto.

Una pregunta natural es si el resultado se generaliza a más dimensiones. Sea S una superficie cerrada que no se autointerseca homeomorfa a una esfera \mathbb{S}^2. Entonces el teorema análogo al de Jordan dice que \mathbb{R}^3-S tiene dos componentes conexas. Nos preguntamos si las componentes conexas de \mathbb{R}^3-S son homeomorfas a las componentes conexas de \mathbb{R}^3-\mathbb{S}^2.

Respuesta: No. El ejemplo más famoso es la esfera cornuda de Alexander. Podéis ver un video en aquí, e información en wikipedia.

Cualquiera de las componentes conexas de \mathbb{R}^3-\mathbb{S}^2 son contráctiles, es decir, todo lazo se puede deformar en un punto. Sin embargo, en las componentes conexas del complementario de la esfera de Alexander existen lazos que no se pueden reducir a un punto. Podéis ver más información aquí que está en el enlace "Juegos topológicos" de este blog.

viernes, 6 de febrero de 2009

Corona circular y el disco abierto no son homeomorfos

En la entrada anterior hay un 'pequeño' detalle, que está sin probar en clase (y no se probará este curso): una corona circular no es homeomorfa a un disco. Para probar esto hay que usar el concepto de grupo fundamental, el cual no se define este curso, aunque se ha hablado de él varias veces. Además, este ejemplo es una buena introducción a la parte del tema 4 que está aun sin explicar: arco-conexión.

Un arco en un espacio topológico es una curva continua. Nos podemos imaginar los arcos como trozos de cuerdas en el espacio. Un espacio se dice que es arcoconexo si dos puntos cualesquiera se pueden unir por un arco. Además es una propiedad topológica. En clase estudiaremos algunas propiedades y estudiaremos si ciertos espacios son o no arcoconexos. Por ejemplo, el espacio que era el grafo de la función sen(1/x) junto el origen (0,0) no es arco-conexo (aunque era conexo).

Es evidente que tanto la corona circular como el disco abierto son arcoconexos. En el segundo vale como arco el segmento que une dos puntos (por ser convexo). En el primero vale con tomar trozos de círculos junto con segmentos.

Un lazo es un arco cuyo origen y final coinciden (lo que todo el mundo entiende por 'lazo'). Se dice que un espacio es contráctil si todo lazo se puede deformar (por otros lazos) en un punto. Se entiende que cuando se deforma no nos 'salimos' del espacio topológico. El ser contractil es una propiedad topológica. No es difícil: sólo hay que definir qué significa una 'deformación', por lo demás, es dejarse llevar.


Para acabar, es evidente que en el disco abierto, todo lazo se puede deformar en un punto, como aparece en el dibujo de la izquierda. En la corona circular hay lazos que sí tienen esta propiedad, como sucede con el lazo amarillo. Pero hay otros que no la tienen, como el lazo rojo, que al 'rodear' el agujero que determina la corona impide que se pueda deformar en un punto (sin salirse de la corona, claro). Se concluye que la corona no es contráctil, y por tanto, no es homeomorfa al disco.



jueves, 5 de febrero de 2009

El teorema de la curva de Jordan

En uno de los enlaces del blog, aparece un vídeo sobre el teorema de la curva de Jordan que dice lo siguiente. Consideramos F un conjunto del plano $\mathbb{R}^2$ homeomorfo al circulo $\mathbb{S}^1$. Entonces $\mathbb{R}^2-F$ tiene dos componentes conexas. El conjunto $F$ puede ser imaginado como una curva cerrada que no se corta asímisma. En el caso concreto que $F=\mathbb{S}^1$ es evidente el resultado y se hizo en clase.

Lo curioso del resultado es que siendo "intuitivamente evidente" su prueba requiere de herramientas topológicas y algebraicas tan fuertes que su demostración se realiza en el último curso de la Licenciatura.

En general nos podemos realizar la siguiente pregunta. Sean $F_1$ y $F_2$ dos cerrados de $\mathbb{R}^n$ que son homeomorfos entre sí. Entonces ¿$ \mathbb{R}^n-F_1$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n-F_2$? En el caso anterior, $F_1$ es el circulo $\mathbb{S}^1$.

Pongamos el siguiente ejemplo del plano $\mathbb{R}^2$. Sea $F_1$ dos círculos concéntricos y $F_2$ dos círculos disjuntos y no concéntricos. Concretamente, $F_1=S_1(0,0)\cup S_2(0,0)$ y $F_2=S_1(0,0)\cup S_1(3,0)$. Es evidente que $F_1\cong F_2$. Sin embargo $\mathbb{R}^2-F_1\not\cong\mathbb{R}^2-F_2$. En ambos casos, el conjunto complementario tiene tres componentes conexa (ejercicio). En el primer ejemplo, estas componentes son: un disco, una corona circular y otra corona circular. En el segundo las componentes son dos discos y otro conjunto más que no hace falta saber cómo es su topología. Si los conjuntos complementarios fueran conexos las componentes conexas serían homeomorfas, cosa que no puede ser.


... escribir, escribir, ...

Volviendo a "saber expresarse" o "expresar lo que uno piensa", observo, hablando con algunos alumnos, que no saben decir lo que están pensando. No me refiero a cuando pregunto en clase y alguien no sabe la respuesta, dice algunas palabras, y se para. No, no es eso. Me refiero a alguien que le he propuesto un ejercicio, lo ha hecho en casa (puede haber tardado un par de días), y cuando me lo explica en la pizarra, no sabe decir lo que ha escrito, o al revés, no sabe escribir lo que está diciendo.

Esto parece una tontería, pero no es así. Las Matemáticas (con mayúsculas) usa un lenguaje especial y unos razonamientos lógicos, y a ellos nos tenemos que atener. En primer lugar, porque así son las Matemáticas, y hay que asumirlo y punto. Por otro lado, para comunicarnos con otros matemáticos (a este nivel, podríamos pensar en "hacer los exámenes") usamos un lenguaje común (el matemático) y no otro (en caso contrario, es como si dos personas hablaran distintos idiomas, sin entenderse nada).

Tampoco digo que sea fácil (aunque ya lleváis al menos un año de licenciatura). Esto hay que practicarlo y practicarlo. No hay otra forma. Y más vale empezar ya, ahora en segundo curso, que luego puede ser tarde.

Espero que tanto esta entrada como la anterior sea tomada como un consejo, como los consejos que nos daba el profesor Chamizo.

Para acabar: siempre tenéis (entre otros recursos) al profesor de la asignatura, que está (entre otras cosas) para enseñaros.

miércoles, 4 de febrero de 2009

Topología, exámenes y estudio.

Buscando ayer el problema de la tarta, me paré en la página de internet del profesor Chamizo, donde había un fichero que se llamaba "Cómo aprobar la Topología del curso 2003/2004". Lo estuve leyendo y reflexionando un poco.

La idea principal de las notas del profesor Chamizo es que hay que estudiar. Es evidente que hay que estudiar, pero hay que hacerlo efectivamente. Somos estudiantes de topología (yo me incluyo) y nuestra tarea es aprender topología (si fuéramos médicos, tendríamos que curar a los enfermos).

También dice "No menosprecies los dibujos ni las ideas geométricas", cosa que ya he incidido en clase.

Pero más interesante es cuando afirma que "Ya te enfrentes a un problema mecánico o a otro creativo, es importante ordenar las ideas y redactarlas de un modo lógico y matemáticamente irreprochable. Intenta siempre que tu expresión matemática sea clara y breve, haciendo notar cuáles son las hipótesis, las conclusiones y los resultados teóricos a los que apelas." Me quiero centrar en lo de "redactarlas".

Muchas veces pregunto en clase si alguien ha hecho algún ejercicio. Entonces un alumno dice algo así como "lo he intentando, pero no me ha salido" y le digo a continuación "da igual, sal a la pizarra y nos cuentas qué has hecho y hasta dónde has llegado". Hay problemas fáciles y otros difíciles, no somos máquinas haciendo ejercicios, y más para un estudiante que empieza con una asignatura. Esto también lo he dicho muchas veces. Pero al menos hay que intentarlo.

E intentarlo quiere decir que uno ha estudiado el tema (definiciones, teoremas, etc), ha pensado, razonado, etc. Uno tiene que escribir todo ello, lo que piensa (aunque esté mal) y escribir los razonamientos (algo así como "y ahora utilizo el teorema XX porque en él se afirma que ..."). Después de un rato, ordenar todo lo anterior (volviendolo a escribir), seguir pensando, etc. Cuando uno lee lo que escribe puede darse cuenta a veces que lo que ha escrito no tiene nada que ver con lo que pensaba (algo parecido cuando, escuchando una canción que nos gusta, la tatareamos en la cabeza ¡que bien cantamos!, pero si nos grabáramos y nos escucháramos ¡como desafinamos!).

Escribir significa, como siempre digo, escribir oraciones (sujeto y predicado, bien estructuradas). Desde el punto de vista del lenguaje matemático, usando los símbolos de la forma correcta. Sé que esto último es difícil, como a veces se muestra en clase con (¿trauma?) las llaves {} de los conjuntos. Es que somos matemáticos, y ése es el lenguaje de los matemáticos. Volviendo al símil de los médicos, es como si al hacer una cirugía, en vez de usar el bisturí usáramos un cuchillo de cocina

Escribir, escribir, ...

martes, 3 de febrero de 2009

Conexión y teorema del valor intermedio

Ya se comentó en clase que el teorema del valor intermedio nos afirma que ciertas ecuaciones tienen solución. A continuación se va a poner dos ejemplos del mismo, que aparecen siempre como "curiosidades" de la Topología. Lo que viene a continuación lo he sacado de unos apuntes de topología que a mí, personalmente, me gustan: Topología (la Topología de segundo no es tan difícil), del Prof. Chamizo. También hay un enlace en este blog.

Problema 1. Consideremos una tarta circular, y por encima de la misma hay chocolate (que no tiene porqué cubrir toda la tarta). Además el grosor puede variar y puede haber chocolate distribuido a trozos ¿es posible hacer por el centro de la tarta un corte con un cuchillo de forma que haya el mismo chocolate en cada uno de los dos cortes? La respuesta es sí. La demostración es la siguiente.
Podemos suponer que la tarta es el disco D centrado en el origen del plano y radio 1. El borde de la tarta lo vemos como $S^1=\{(\cos(t),\sin(t));t\in[0,2\pi]\}$. Cada corte por el centro viene dado por una recta que une un punto de la forma $p(t)=(\cos(t),\sin(t))$ con otro de la forma $p(t+\pi)=(\cos(t+\pi),\sin(t+\pi))$. Sea $L(t)$ dicha recta que divide a $D$ en dos partes $A(t)$ y $A(t+\pi)$ que se corresponden, respectivamente, con la parte que va de $p(t)$ a $p(t+\pi)$ y la recta $L(t)$, en el sentido contrario a las agujas del reloj y la otra la que va de $p(t+\pi)$ a $p(t+2\pi)=p(t)$. Concretamente $A(t)=\{r(\cos(s),\sin(s));r\in [0,1],s\in [t,t+\pi]\}$. Se define la función $f:[0,\pi]\rightarrow \mathbb{R}$ como f(t)=(cantidad de chocolate que hay en A(t))-(cantidad de chocolate que hay en $A(t+\pi)$. Esta función es continua, ya que al variar de forma continua los cortes, la cantidad de chocolate también varía continuamente. Además $f(0)=A(0)-A(\pi)$ y $f(\pi)=A(\pi)-A(\pi+\pi)=A(0)$. Por tanto, $f(\pi)=-f(0)$. Por el teorema del valor intermedio, existe $t_0$ tal que $f(t_0)=0$. Por tanto el corte hay que hacerlo a través de la recta $L(t_0)$.

Problema 2. Sea una cinta de goma $R$ de forma rectilínea sobre un papel y marcamos con un lápiz el segmento que determina en el papel. Cogemo ahora la cinta $R$, la doblamos, estiramos, encojemos como queramos y la superponemos sobre la traza marcada en el papel de forma que los extremos de la cinta deformada coincidan con los extremos de la marca hecha en el papel. Entonces se puede asegurar que hay un punto de la cinta deformada que no se ha movido de su posición original marcada con el lápiz. De nuevo, podemos pensar que $R=[0,1]$ y que la deformación que hemos hecho con $R$ es simplemente una aplicación continua $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$. El teorema del punto fijo nos dice que existe $x_0$ tal que $f(x_0)=x_0$, y este es el punto $x_0$ que no se ha movido de posición (a pesar de todo lo que le hayamos hecho a $R$).

domingo, 1 de febrero de 2009

Glosario de Topología I

En el diccionario de la Real Academia Española, la segunda acepción de la palabra glosario es: "Catálogo de palabras de una misma disciplina, de un mismo campo de estudio, etc., definidas o comentadas".

Es habitual la realización de un glosario de una asignatura. Este podría ser un objetivo del curso, es decir, realizar una lista completa de todas las definiciones que se han dado en la asignatura. Dos ejemplos son los siguientes:
  • Espacio localmente conexo: un espacio topológico que satisface que todo punto tiene una base de entornos conexos.
  • Conjunto abierto: cada uno de los elementos de la topología.

Por tanto, un trabajo que propongo es la realización de dicho glosario. Ya que han aparecido numerosos conceptos, es fácil olvidarse de alguno, lo que significa que para una única persona es una tarea algo difícil. Por ello se hará en grupos. Como el curso todavía no ha acabado, y para ser más eficientes, se va a hacer el glosario en dos partes.

La primera parte sería la recolección de todos los términos y definiciones que han aparecido en el primer cuatrimestre. Sería para un grupo de tres personas y con fecha de finalización para primeros de marzo. Para dar má agilidad, mientras se va haciendo, se va a ir publicando en el blog, sin esperar a que se tenga todo el glosario de este cuatrimestre para estar dispuesto en internet.

La segunda parte se corresponde a completar el glosario para lo que queda de la asignatura. Ya que ésta acabaría en mayo, el trabajo es más sencillo y tranquilo. Sería para un grupo de dos personas.

Como en los anteriores trabajos propuestos, se puntúa.

El glosario se hará también en LaTeX, para que pueda ser descargado en formado pdf.

Una observación: en internet aparecen glosarios de topología, por ejemplo, en http://es.wikipedia.org/wiki/Glosario_de_topología. Por ello una tendencia natural es a copiar y pegar lo que aparece en la red. No digo que no se haga, pero que se haga con cuidado, es decir, utilizando la misma terminología, símbolos, etc que se está usando a lo largo del curso. Lo que sí puede servir internet es a que no se escape ninguno.