viernes, 27 de mayo de 2011

Sobre la aplicación proyección

Consideramos en un espacio topológico X un subconjunto suyo A y definimos la relación de equivalencia R que identifica todos los puntos de A. Hemos visto hoy en clase que si A es abierto (resp. cerrado), la aplicación proyección $p:X\rightarrow X/R$ es abierta (resp. cerrada). Para ello usamos que la saturación $R(O)$ de un conjunto $O$ es $O$ si $O\cap A=\emptyset$ y es $O\cup A$ si $O\cap A\not=\emptyset$.

La pregunta que dejo es: dar un ejemplo (si lo hubiere) de un espacio X, una conjunto A que no sea abierto pero que la aplicación proyección sí es abierta. Lo mismo, pero cambiando la palabra abierto por cerrado.

miércoles, 25 de mayo de 2011

Un cociente no compacto de R

Tomamos en R la relación de equivalencia R que identifica todos los números enteros Z. Se puede probar que el conjunto cociente R/R no es compacto



Sin embargo, podemos pensar el cociente como si cogiéramos la recta real y fuéramos pegando todos los números enteros.



En la figura, los números enteros se pegan en el punto p, y cada segmento entre un entero n y el siguiente n+1, se dobla como si fuera una circunferencia. Podemos tomar estos círculos en un cuadrado para que el conjunto total sea acotado, y como es cerrado, entonces es compacto.


Está claro que por compacidad, R/R no puede ser homeomorfo a dicha figura, entonces ¿en qué falla nuestra intuición?

domingo, 15 de mayo de 2011

Cociente de un disco

Hemos visto en clase que si $D=\{(x,y);x^2+y^2\leq 1\}$ es el disco unidad, es posible, identificando puntos opuesto de $S^1$, probar que el plano proyectivo $RP^2$ es homeomorfo a un cociente del disco $D$.


Esta entrada deja como ejercicio que si cambiamos un poco la relación de equivalencia, a qué sería homeomorfo el disco. La relación es la que identifica los puntos de $S^1$ que tienen la misma abcisa (los demás puntos, sólo están relacionados consigo mismos).

martes, 10 de mayo de 2011

¿Otra "circunferencia"?

Tenemos el conocido resultado que si en $\mathbb{R}$ se define la relación $xRy$ si $x-y\in\mathbb{Z}$, entonces el cociente es homeomorfo a $\mathbb{S^1}$.

¿Qué pasa si cambiamos la topología en $\mathbb{R}$ por, por ejemplo, la topología del punto incluido para $p=0$? ¿Seríamos capaces de "ver" el espacio topológico cociente?

Para considerar otro problema parecido, podríamos empezar con el intervalo $X=[0,1]$, identificando el $0$ y el $1$. Tomamos en $X$ la topología del punto incluido para $p=0$. ¿Podríamos calcular cuál es el cociente $X/R$?

lunes, 9 de mayo de 2011

Cocientes de cuadrados

Hemos visto en clase que si tomamos $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación de equivalencia que identifica los puntos de $\{0\}\times [0,1]$ con los de $\{1\}\times [0,1]$ con la misma ordenada, entonces el cociente es homeomorfo al cilindro $S^1\times [0,1]$. La demostración ha sido sencilla por el hecho de que $X$ es compacto.

Esa misma relación, pero en $Y=[0,1]\times (0,1)$ da como cociente un espacio homeomorfo al cilindro abierto $S^1\times (0,1)$ (ahora $Y$ no es compacto).

Me pregunto si sería posible probar ese homeomorfismo usando que $X/R\cong S^1\times [0,1]$ y que $Y\subset X.