viernes, 30 de diciembre de 2011

La clasificación de las letras

Francisco Reyes me ha enviado la clasificación topológica de las letras del abecedario, en mayúscula, indicando cuáles son homeomorfas entre sí y cuáles no. Os dejo para que la repaséis.

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-La A no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
2 salvo dos, que tienen orden uno, y no existe otra letra con dichas
características.
-La B no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
1, al igual que la D y la O, pero no es homeomorfa a estas letras porque
haría falta 'pegar' y 'despegar' puntos para llevar una letra a la otra.
-La C es homeomorfa a la G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z. 'Deformando' o
cambiando de posición dichas letras, podemos formar unas letras a partir
de otras.
-La D es homeomorfa a la O. Todos los puntos de ambas son de orden 1, y
deformando ligeramente el lado vertical de la D hacia la izquierda, se
'obtiene' la O.
-La E es homeomorfa a la F. Ambas tienen un punto de orden 3 y el resto de
orden 2. Es fácil obtener la E a partir de la F.
-La H no es homeomorfa a ninguna otra letra, puesto que no existe otra
distina que tenga dos puntos de orden 3 y el resto de orden 2.
-La K es homeomorfa a la X. Ambas tienen un punto de orden 4 y el resto de
orden 2, y 'torciendo' los lados verticales de la K hacia la izquierda se
forma la X.
-La Ñ no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con todos
sus puntos de orden 3.
-La P no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La Q no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La R no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La T no es homeomorfa a ninguna otra letra. Tiene un punto de orden 3 y
el resto de orden 2, pero no es homeomorfa a la E y a la F porque habría
que 'pegar' y 'despegar' puntos.
-La Y no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con un punto
de orden 3 y el resto de orden 1.

Cabe destacar que la Q ha sido considerada con el 'rabito' sin
introducirse en el agujero de dentro, y la Z sin 'rabito' central.

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Por mi parte, creo que la Y es homeomorfa a la T

miércoles, 28 de diciembre de 2011

Orden de intersección

En un espacio topológico $X$, un punto $p\in X$ se dice que tiene orden de intersección $n\in\mathbb{N}$ si $X-\{p\}$ tiene exactamente $n$ componentes conexas. Evidentemente, el orden de intersección es un invariante topológico. Ha sido justamente éste el que se ha usado para distinguir las letras. Pongo más ejemplos de ello.

La letra H no es homeomorfa a Y. Y esto es por que la letra H tiene dos puntos de orden 3. Si la letra Y fuera homeomorfa a H, tendría dos puntos de orden 3. Sin embargo sólo tiene uno.

En la letra H todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto dos, que tiene orden de intersección 3. En la letra Y todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto un punto que tiene orden 3.

Por último, la letra Y no es homeomorfa a la letra R. Ésta tiene sólo un punto de orden 3, pero tiene otros puntos de orden 1, es decir, al quitar el punto, el conjunto que queda es conexo.

martes, 27 de diciembre de 2011

¡ FELIZ NAVIDAD !... y conexión

Siguiendo con la entrada anterior sobre 'letras', tomo la expresión ¡ FELIZ NAVIDAD ! y clasifico topológicamente cada uno de sus elementos. Primero, los signos de admiración ¡ y ! son homeomorfos entre sí, y no son homeomorfos a ninguna letra ya que las letras son conexas, pero los signos de admiración no: cada uno tiene dos componentes conexas.

Para el resto, la clasificación es:

  • Las letras L, I, Z, N y V son homeomorfas entre sí. Además, son homeomorfas a un intervalo abierto $(a,b)$.
  • Las letras F y E son homeomorfas entre sí.
  • La letra D no es homeomorfa a ninguna y es homeomorfa a $\mathbb{S}^1$.
  • Lo mismo pasa con la letra A.
  • La letra F tiene un punto que al quitarlo queda tres componentes conexas, cosa que no pasa ni para L, D y A.
  • La letra A tiene exactamente dos puntos que al quitarlos queda dos componentes conexas: esto no pasa a L (hay infinitos) ni a D, que no tiene ninguno.
  • La letra D no es homeomorfa a L, pues al quitarle un punto, queda conexo, y esto no sucede con la letra L.


lunes, 26 de diciembre de 2011

Sobre letras


Todos los años, al llegar al tema de conexión y explicar las componentes conexas, siempre hago referencia a un ejercicio que vi hace tiempo en un libro de topología en el que se distinguía topológicamente las letras del alfabeto. Concretamente, vamos a suponer las letras del alfabeto escritas en mayúsculas, es decir, A B C D E, etc. El problema es, como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$, distinguirlas topológicamente. Y usaremos conexión y componentes conexas.

En principio, y para simplificar las dificultades que se pueden prestar, supondré que cuanto una letra acaba en un trozo de segmento, el 'último' punto no está en la letra, es decir, considero ese extremo abierto. Por ejemplo, los dos extremos inferiores de la letra A no están incluidos en la letra.

Empiezo con la letra A y B. Ambas son conexas, pero no son homeomorfas. Supongo que hay un homeomorfismo f entre A y B. En la letra A, considero uno de los dos puntos de intersección entre el segmento vertical de la izquierda y el segmento horizontal. Llamo a ese punto $p$. Mediante el homeomorfismo f, dicho punto irá a alguno $f(p)$ de la letra B. Quito $p$ de $A$ y por tanto, $A-\{p\}$ es homeomorfo a $B-\{f(p)\}$. Sin embargo $A-\{p\}$ tiene dos componentes conexas, y si quito cualquier punto de la letra B, siempre queda conexo. Por tanto, llegamos a una contradicción, probando que A no es homeomorfo a B.

Del mismo modo, la letra E no es homeomorfa a la letra A. Para ello, tomamos el punto q y por tanto $E-\{q\}$ es homeomorfo a $A-\{f(q)\}$. En la letra A no hay puntos que al quitarlos quede tres componentes conexas. Esta contradicción prueba que A no es homeomorfa a E.

Y así podemos seguir con todas las letras del alfabeto.

Por ejemplo, las letras C, I, J y L son homeomorfas entre sí: son todas homeomorfas al intervalo $(0,1)$.


domingo, 25 de diciembre de 2011

Sobre conos

La conexión, como invariante topológico, nos sirve para distinguir espacios topológicos ¡aunque ambos sean conexos!

Un ejemplo es considerar el cono. Tomamos $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2\}$, que aparece en la siguiente figura.


Y tomamos el conjunto $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$, que es el auténtico cono de los helados.


Entonces, usando un argumento de conexión, $X$ no es homeomorfo a $Y$. Llamamos $p=(0,0,0)$, que pertenece a ambos conjuntos. Concretamente, si $f:X\rightarrow Y$ es un homeomorfismo entre ellos, sea $f(p)=q$. Si restringimos $f$ al conjunto $X-\{p\}$ y su imagen, a saber, $Y-\{q\}$, queda un homemorfismo. Por tanto $X-\{p\}\cong Y-\{q\}$.

Sin embargo, $X-\{p\}$ no es conexo, concretamente, tiene dos componentes conexas:
$$X^+:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z>0\},$$
$$X^{-}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z<0\}.$$ Pero $Y-\{q\}$ es conexo. El conjunto $Y$ es homeomorfo $\mathbb{R}^2$ (usando la proyección $(x,y,z)\longmapsto (x,y)$). Por tanto, $Y-\{q\}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ menos un punto, que es conexo (además es homeomorfo a un cilindro $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$).

jueves, 22 de diciembre de 2011

Partición por conexos y componentes conexas


Si dado un espacio topológico $X$ tenemos una partición $\{A_i;i\in I\}$ del mismo por conjuntos conexos, estos no tienen porqué ser las componentes conexas. El ejemplo más sencillo de esto es que en cualquier espacio topológico (sea o no conexo), la partición $\{\{x\};x\in X\}$ es una partición por conexos.

Tenemos un resultado de clase que nos dice que, si además los conjuntos $A_i$ son abiertos, entonces sí coinciden con las componentes conexas.

Con esta entrada lo que pregunto es por ejemplos de espacios topológicos de forma que la partición de las componentes conexas no esté formada por conjuntos abiertos. Y también, si es posible encontrar estos ejemplos como subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ con la topología usual.

Un ejemplo que se me ocurre es el siguiente. En la topología de Sorgenfrey, los puntos son las componentes conexas. Sin embargo, el conjunto formado por un punto no es abierto.

lunes, 19 de diciembre de 2011

Componentes conexas y topologías inducidas


Con las componentes conexas podemos plantear varias preguntas relacionadas con las formas de construir espacios topológicos. Por ejemplo, se sabe que en un producto topológico $X\times Y$, la componente conexa de $(x,y)$ es
$C_x\times C_y'$.

¿Y con las topologías inducidas? Supongamos que $X$ es un espacio topológico, $A\subset X$ y $a\in A$. La pregunta es qué relación hay entre la componente conexa $C_a$ de $a$ en $X$ y la componente conexa de $a$ en $(A,\tau_{|A})$, $C_a^A$. Como $C_a^A$ es un conjunto conexo en $X$ que contiene a $a$, entonces $C_a^A\subset C_a$. Es natural preguntarse si $C_a^A=C_a\cap A$.

En $\mathbb{R}$ vemos ejemplos que esto no es cierto. Por ejemplo, si $A=(0,2)\cup (3,4)$ y tomamos $a=1$. Entonces
$C_a^A=(0,2)$ y $C_a=\mathbb{R}$. Por tanto, $C_a\cap A=A=(0,2)\cup (3,4)$.

Si $A$ es conexo, $C_a^A=A$ y $C_a\supset A$. Dejo aquí si es posible hacer un 'teorema' diciendo cuándo se tiene la igualdad $C_a^A=C_a\cap A$.

domingo, 18 de diciembre de 2011

Separando mediante una función (II)


Siguiendo con la entrada de ayer, es conveniente aclarar dos cosas.

Primero es que el hecho de poder 'separar' el conjunto en dos 'partes' no quiere decir que tenga exactamente dos  componentes conexas, sino, como se dijo ayer, que el conjunto no es conexo, y por tanto, tiene al menos dos componentes conexas. Así por ejemplo, si $X$ es el conjunto de $\mathbb{R}^2$ dado por tres puntos, a saber, $X=\{(0,-2),(0,-1),(0,1)\}$, la recta $y=0$ separa el conjunto, es decir,
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
El conjunto $X\cap f^{-1}((-\infty,0))$ no es conexo, aunque sí lo es $X\cap f^{-1}((0,\infty))$. En verdad, los tres puntos constituyen las componentes conexas, es decir, hay tres.

La segunda observación es que un conjunto puede no ser conexo, y puede que no haya una función $f$ que pueda separar el mismo. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ no es conexo en $\mathbb{R}^2$, y yo al menos no soy capaz de encontrar una función continua que 'separe' el conjunto en dos trozos.

Finalmente, y enlazando con esto último, os dejo como ejercicio encontrar un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que tenga exactamente dos componentes conexas y no sea claro encontrar una función que separe el conjunto en dos trozos (en el ejemplo anterior, el conjunto tiene infinitas componentes conexas).

sábado, 17 de diciembre de 2011

Separando mediante una función


A veces, la prueba de que un conjunto de $\mathbb{R}^n$ no es conexo es conseguir "separarlo" de algún modo. Un ejemplo podría ser el siguiente. En $\mathbb{R}^2$, tomamos como conjunto $X=\{(x,y);y=1\}\cup \{(0,-1)\}$. Este conjunto no es conexo, pues
$$X=(X\cap\{(x,y);y<0\})\cup (X\cap \{(x,y);y>0\})$$
y cada uno de los dos conjuntos anteriores son abiertos de $X$ y no triviales. Por supuesto, es una partición de $X$ ya que $X$ no tiene puntos con $y=0$.

Se puede pensar que lo que se ha hecho con $X$ es probar que el plano $y=0$ lo separa. Definimos la función en $\mathbb{R}^2$ dada por $f(x,y)=0$, a cual es continua. El grafo de la función es el plano $P$ de ecuación $y=0$, el cual separa $X$ en el sentido que $X$ no corta el grafo, y hay puntos de $X$ con $f$ positiva y punto de $X$ con $f$ negativa. Por tanto, una partición por abiertos y no trivial de $X$ es
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
Igual que se ha hecho con $f(x,y)=0$, se puede considerar otras funciones para otros conjuntos. Por ejemplo, tomamos en $\mathbb{R}^3$ el conjunto $X=\{(0,0)\}\cup \{(x,y);y=2\}$. Este conjunto no es conexo porque  la función $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ separa $X$ del siguiente modo:
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,1)))\cup (X\cap f^{-1}((1,\infty))).$$
O dicho con palabras, lo de dentro de la bola de radio 1 y lo de fuera de dicha bola.

viernes, 16 de diciembre de 2011

La espada salomónica y el teorema del valor intermedio

¿Es posible partir un bocadillo con el corte de un cuchillo en justamente dos partes iguales?

La respuesta es sí, y la demostración hace uso del teorema del valor intermedio. Cada vez que cortemos el bocadillo, tenemos dos trozos a ambos lado del corte. Si empezamos cortando, por ejemplo, de izquierda a derecha, tendríamos que al principio la parte de la izquierda es pequeña, y la de la derecha, grande. Conforme vamos haciendo los cortes más hacia la derecha, la cantidad a la izquierda se va haciendo mayor, y la de la derecha, más pequeña.

Supongamos que el bocadillo tiene longitud L, y peso P, y colocamos el bocadillo en el eje de abcisas, de forma que el extremo de la izquierda coincide con el origen.

La cantidad (peso) de bocadillo que hay a la izquierda del corte es una función continua de x (la variable del eje de abcisas). Sea f(x) la cantidad de bocadillo a la izquierda de x. Entonces f(0)=0 y f(L)=P. Por tanto, por el teorema del valor intermedio, existe un T tal que f(T)=P/2.

El teorema nos dice que dicho punto existe, aunque no nos dice dónde.