jueves, 27 de septiembre de 2012

Abiertos y cerrados en la recta de Sorgenfrey

Como veremos en el tema 3, en la recta de Sorgenfrey hay conjuntos que son cerrados y abiertos a la vez. La cuestión que planteo es que 'descubramos' algunos de dichos conjuntos que a la vez sean 'conocidos'. Pongo un ejemplo, como muestra.

El intervalo $[0,1)$ es abierto al ser un elemento de la base. Por otro lado, también es cerrado ya que su complementario es $(-\infty,0)\cup [1,\infty)$, que es abierto: ambos son conjuntos abiertos, y por tanto, su unión también. Exactamente, tenemos (*):$$(-\infty,0)=\cup_{n\in N} [-n,0),  [1,\infty)=\cup_{n\in N}[1,\infty)$$Pregunta: dar ejemplos de otros tipos de intervalos (si los hubiera) que fueran abiertos y cerrados a la vez.

Otro tipo de conjuntos
  1. El conjunto de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
  2. Los conjuntos finitos.
  3. sucesiones convergentes.






(*) ¡cuidado! un conjunto abierto puede ser unión de dos conjuntos y ninguno de estos ser abierto.

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Usando racionales e irracionales

Consideramos $\mathbb{R}$ con la topología usual $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{R}\}$. Voy a probar que $\beta_1=\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{Q}\}$ es base de $\tau$. Por un lado, es evidente que $\beta_1\subset\beta\subset\tau$. Por otro, dado $O\in\tau$ y $x\in O$, sean $a,b\in\mathbb{R}$ tales que $x\in (a,b)$. En particular, $a < x < b$. Por la propiedad de los números racionales, existen racionales $p,q$ tales que $a < p < x$ y $x < q < b$. En particular,
$$x\in (p,q)\subset (a,b)\subset O.$$ De la misma forma, y llamando  $\mathbb{I}$ el conjunto de los irracionales, se puede probar que  $\{(a,b); a < b, a,b\in\mathbb{I}\}$,  $\{(a,b); a < b, a\in\mathbb{Q},b\in\mathbb{I}\}$ y $\{(a,b); a < b, a\in\mathbb{I}, b\in\mathbb{Q}\}$ son también bases de $\tau$.

La cuestión que planteo es estudiar bases parecidas en las otras topologías que hemos introducido en $\mathbb{R}$. Por ejemplo, sea $\tau_S$ la topología de Sorgenfrey. ¿Es $\beta_1$ base de $\tau_S$?

De la misma forma, si $\tau_d$ es la topología a derechas, ¿es $\{[a,\infty);a\in\mathbb{Q}\}$ base de dicha topología?

lunes, 24 de septiembre de 2012

El primero de la clase

Empezamos el curso con el primer ejemplo de espacio topológico (apareció en el examen de septiembre). Tomamos $X=\mathbb{R}$ y $\tau=\{\emptyset,X\}\cup\{[0,a);a\in\mathbb{R}^+\cup\infty\}$. Varias observaciones a tener en cuenta:
  • Dos abiertos siempre se intersecan.
  • Si $x < 0$, una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{\{\mathbb{R}\}\}$.
  • Por tanto, si $A\subset\mathbb{R}$, $(-\infty,0)\subset\overline{A}$.
Os dejo como ejercicio que encontréis bases de abiertos con un número 'pequeño' de abiertos.