En esta entrada generalizamos, en cierto sentido, la construcción de la topología usual de ${\mathbb R}^2$. Recordemos que la topología usual de ${\mathbb R}$ es la que tiene por base los intervalos abiertos y en ${\mathbb R}^2$, la que tiene por base el producto cartesiano de intervalos abiertos: $$\{(a,b)\times (c,d): a < b, c < d, a, b, c, d\in{\mathbb R}\}.$$Hacemos algo parecido con la topología cofinita o de los complementos finitos. En ${\mathbb R}$ denotamos la topología cofinita por $\tau_{CF}$ y en ${\mathbb R}^2$ y consideramos la familia de subconjuntos de ${\mathbb R}^2$ dada por $$\beta=\{O\times O': O, O'\in\tau_{CF}\}.$$Se deja como ejercicio probar que $\beta$ es base de una topología en ${\mathbb R}^2$ y que denotamos por $\tau$. Por otro lado, ${\mathbb R}^2$ tiene también su topología cofinita, que denotamos por $\tau'$, es decir, los abiertos son los conjuntos que son complementarios de los conjuntos finitos de ${\mathbb R}^2$.
La pregunta que nos hacemos es qué relación tiene $\tau$ con $\tau'$ (si la hubiera). Por ejemplo, ${\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$ es un abierto en $\tau'$ ¿pertenece a $\tau$? ¿Y qué sucede con el conjunto ${\mathbb R}^2-\{(x,0):x\in{\mathbb R}\}$?
La pregunta que nos hacemos es qué relación tiene $\tau$ con $\tau'$ (si la hubiera). Por ejemplo, ${\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$ es un abierto en $\tau'$ ¿pertenece a $\tau$? ¿Y qué sucede con el conjunto ${\mathbb R}^2-\{(x,0):x\in{\mathbb R}\}$?