tag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post1090683083264025832..comments2023-11-02T17:34:47.910+01:00Comments on TOPOLOGIA I: Continuando con la fronteraRafael Lópezhttp://www.blogger.com/profile/17384399626226736168noreply@blogger.comBlogger6125tag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-25751312432935476292011-10-31T13:54:42.176+01:002011-10-31T13:54:42.176+01:00Si $A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariament...Si $A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariamente está contenido en $Fr(B)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con su topología usual y sean $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}$. Entonces por un lado $Fr(A)=\mathbb{R}$ y por otro lado $Fr(B)=\emptyset$. <br /><br />Tampoco se tiene inclusión en el sentido contrario, es decir: si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sean $A=\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=A$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$. Otro ejemplo sería tomar $\mathbb{R}$ pero ahora con topología usual y $A=[0,1]$, $B=[0,2]$. <br /><br />Una relación que se tiene es cuando $A$ y $B$ son conjuntos separados, es decir: si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, y $A$,$B$ son subconjuntos de $X$ tales que $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset$, entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B)$.Daniel Lopez Aguayonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-26295986075509563242011-10-31T13:45:36.004+01:002011-10-31T13:45:36.004+01:00$Si A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariament...$Si A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariamente está contenido en $Fr(B$). Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con su topología usual y sean $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}$. Entonces por un lado $Fr(A)=\mathbb{R}$ y por otro lado $Fr(B)=\emptyset$. <br /><br />Por otro lado, si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sean $A=\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=\{0,1\}$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$. Otro ejemplo sería tomar $\mathbb{R}$ pero ahora con su topología usual y $A=[0,1]$, $B=[0,2]$. <br /><br />Una relación que se tiene es cuando $A$ y $B$ son conjuntos separados, es decir: si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, y $A$,$B$ son subconjuntos de $X$ tales que $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B}=\emptyset$, entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B).Daniel Lopez Aguayonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-75509420476848965182011-10-31T13:33:32.148+01:002011-10-31T13:33:32.148+01:00Si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariament...Si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sea $A=\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=\{0,1\}$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$. Otro ejemplo sería tomar $\mathbb{R}$ pero ahora con topología usual y $A=[0,1]$, $B=[0,2]$. Una relación que se tiene es cuando $A$ y $B$ son conjuntos separados, es decir: si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, $A,B$ subconjuntos de $X$ tales que $\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B} = \emptyset$ entonces $Fr(A \cup B)=Fr(A) \cup Fr(B)$.Daniel Lopez Aguayonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-23981578300177692952011-10-24T06:29:11.090+02:002011-10-24T06:29:11.090+02:00Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.Daniel Lopez Aguayonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-10161718437444038592011-10-24T06:27:11.099+02:002011-10-24T06:27:11.099+02:00Este comentario ha sido eliminado por un administrador del blog.Daniel Lopez Aguayonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-22594265523580098382011-10-24T04:55:52.389+02:002011-10-24T04:55:52.389+02:001) Si $A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariam...1) Si $A \subset B$ entonces $Fr(A)$ no necesariamente está contenido en $Fr(B)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con su topología usual y $A=\mathbb{Q}$, $B=\mathbb{R}$. Entonces por un lado $Fr(A)=\mathbb{R}$ y por otro lado $Fr(B)=\emptyset$. <br /><br />2) Si $A \subset B$ entonces $Fr(B)$ no necesariamente está contenido en $Fr(A)$. Contraejemplo: sea $\mathbb{R}$ con la topología cofinita. Entonces se puede verificar que cualquier conjunto infinito es denso en esta topología y claramente los conjuntos finitos son cerrados. Luego sea $A =\{0,1\}$ y $B=[0,1]$ entonces $Fr(A)=\{0,1\}$ mientras que $Fr(B)=\mathbb{R}$.Daniel Lopez Aguayonoreply@blogger.com