tag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post2443905855334344391..comments2023-11-02T17:34:47.910+01:00Comments on TOPOLOGIA I: Homeomorfismos en topologías productosRafael Lópezhttp://www.blogger.com/profile/17384399626226736168noreply@blogger.comBlogger3125tag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-38693795489512859602010-12-01T19:05:12.737+01:002010-12-01T19:05:12.737+01:00Vaya hombre, y al comienzo, al definir el conjunto...Vaya hombre, y al comienzo, al definir el conjunto A, se me han olvidado las llaves, quedaría de la siguiente manera:<br /><br />$ A=\{(x,x)\in X\times X : x\in X\}$Antonio Buenonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-38072774852025368522010-12-01T19:00:53.748+01:002010-12-01T19:00:53.748+01:00Perdón, al final de todo quería decir que $A\subse...Perdón, al final de todo quería decir que $A\subset X\times X$Antonio Buenonoreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3515823740355121443.post-85065061446605333472010-12-01T18:58:47.345+01:002010-12-01T18:58:47.345+01:00Quedó en clase propuesto el ejercicio de ver que, ...Quedó en clase propuesto el ejercicio de ver que, siendo $(X,\tau)$ espacio topológico consideramos $ A={(x,x)\in X\times X : x\in X}$. Entonces:<br />$(X,\tau)\cong(A,\tau\times\tau_{|A})$<br /><br />Definimos $f:(X,\tau)\rightarrow (X\times X,\tau\times\tau),\ f(x)=(x,x)$ Es inmediato comprobar que f es biyectiva. Para ver que es homeomorfismo veamos que ella y su inversa es continua.<br /><br />$f$ es continua si y sólo si al componer con las proyecciones es continua.<br />$\forall x\in X (p \circ f)(x)=p(f(x))=p(x,x)=x$ Es decir, $p\circ f=1_{X}$ la identidad en $(X,\tau)$ y sabemos que la identidad entre dos espacios topológicos iguales es continua, por lo tanto $f$ es continua.<br />Como $Im(f)=A,\ f:(X,\tau)\rightarrow (A,\tau\times\tau_{|A})$ es continua, por ser la restricción de una función continua, continua.<br /><br />Ahora bien, $f^{-1}:(X\times X,\tau\times\tau)\rightarrow (X,\tau), f^{-1}((x,x))=x$ es una proyección, por lo tanto continua. Como $A\subset X, f^{-1}_{|A}:(A,\tau\times\tau_{|A})\rightarrow(X,\tau)$ es una restriccion de una función continua, lo cual implica que $f^{-1}$ es continua y con esto tenemos que los espacios son homeomorfos.Antonio Buenonoreply@blogger.com