lunes, 7 de marzo de 2011

Primer axioma de numerabilidad en la topología cofinita

Planteo dos problemas en esta entrada respecto de la topología de los complementos finitos. Tomo como conjunto, el de los números reales.

1. ¿Satisface el primer axioma de numerabilidad? Creo que no.

2. Por tanto, este espacio es candidato a encontrar ejemplos de subconjuntos $A$, $x\in A$ un punto no interior de $A$ pero de forma que toda sucesión convergente a $x$, a partir de un cierto lugar, se encuentra contenida en $A$.

2 comentarios:

  1. Jesús Antonio Bueno Linares8 de marzo de 2011, 14:35

    No lo satisface.
    Si lo satisficiese existiría una base de entornos numerable de un punto $x\in\mathbb{R},\ \beta_x=\{U_i\}_{i\in\mathbb{N}}$.
    Cada $\{U_n\}$ es de la forma $U_n=\mathbb{R}-X_n$ con $X_n$ subconjunto finito de $\mathbb{R}$
    Por ser $\mathbb{R}$ no numerable $\exists a\in\mathbb{R},a\neq x:a\notin X_n\forall n\in\mathbb{N}$
    Como el conjunto $\mathbb{R}-\{a\}$ es entorno del punto $x,\ \exists U_n\in\beta_x: U_n\subset \mathbb{R}-\{a\}\Leftrightarrow \mathbb{R}-X_n\subset\mathbb{R}-\{a\}\Leftrightarrow \{a\}\subset X_n$.
    Lo cual es contradictorio, ya que $a\notin X_n \forall n\in\mathbb{N}$

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  2. Jesús Antonio Bueno Linares8 de marzo de 2011, 14:55

    Al final, en la última equivalencia, no se ha puesto la conclusión realmente importante,
    que $\{a\}\subset X_n$ y aquí ya llegamos a la contradicción

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