Acotación, supremo, adherencia e interior

Tomamos  ${\mathbb R}$ con la topología usual. Vamos a relacionar los conceptos de acotación con el de adherencia, interior y supremo. Sea $A$ un conjunto acotado. Tenemos entonces:

• la adherencia $\overline{A}$ es acotado
• el supremo é ínfimo de $A$ coincide con el de $\overline{A}$.

Para el primer apartado, sabemos que existe $C$ tal que $|a|\leq C$ para todo $a\in A$. Si $x\in\overline{A}$, existe $a_n\rightarrow x$ con $a_n\in A$. Entonces $|a_n-x|\rightarrow 0$ y  $|x|\leq|a_n-x|+|a_n|\leq |a_n-x|+C$. Tomando límites, $|x|\leq 0+C=C$, luego $\overline{A}$ está acotado, pero además por la misma constante que $A$.

Para el segundo apartado, y como estamos con el supremo, modificamos lo anterior del siguiente modo. Tomamos $C=sup(A)$ y escribimos $$x=x-a_n+a_n\leq |x-a_n|+a_n\leq |x-a_n|+C.$$ Tomando límites, $x\leq C$, luego $C$ es una cota superior de $\overline{A}$, en particular, $sup(\overline{A})\leq C$. Pero como $A\subset \overline{A}$, también se tiene $C\leq sup(\overline{A})$, y así la igualdad.
 
Sin embargo esto cambia un poco para el interior. Si $A$ está acotado, su interior también lo está al ser un subconjunto de $A$ y todo subconjunto de un conjunto acotado también es acotado (ejercicio trivial). Sin embargo, el supremo o el ínfimo puede cambiar. Como ejemplo, sea $A=(0,1)\cup\{-1,2\}$. Entonces $A$ es acotado y el ínfimo y supremo son $-1$ y $2$. Pero el interior de $A$ es $(0,1)$ y su ínfimo y supremo son $0$ y $1$.