Sobre homeomorfismos y extensiones

Ponemos un ejemplo de dos subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ que son homeomorfos pero dicho homeomorfismo no es restricción de uno de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo. Sea $X=\mathbb{S}^1\cup A$  e $Y=\mathbb{S}^1\cup B$, donde $A=[0,1]\times\{0\}$ y $B=[1,2]\times\{0\}$. Los conjuntos $A$ y $B$ son homeomorfos pues lo son al intervalo $[0,1]$. Si $\phi:A\to B$ es el homeomorfismo que lleva $(1,0)$ en sí mismo$, entonces 

$$f\colon X\to Y,\ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x& x\in \mathbb{S}^1\\ \phi(x) & x\in A,\end{array}\right.$$ 

es un homeomorfismo.

Veamos que no existe $\tilde{f}$ un homeomorfismo de $\mathbb{R}^2$ en sí mismo tal que la restricción de $\tilde{f}$ a $X$ sea $f$. Si dicho homeomorfismo existiera, entonces $\tilde{f}(\mathbb{R}^2-X)=\mathbb{R}^2-Y$. Las componentes arcoconexas de dichos espacios los denotamos por $C_1$ y $C_2$ y $D_1$ y $D_2$ respectivamente, donde $C_1$ y $D_1$ son las componentes acotadas. 

Veamos que $\tilde{f}(C_1)=D_2$. La frontera de $C_1$ es $X$. Por tanto $\tilde{f}(C_1)$ tiene como frontera $Y$. Pero dicha componente es la no acotada, es decir, $D_2$. 

Llegamos ahora a la contradicción. El espacio $C_1$ es simplemente conexo porque es estrellado desde el punto $(-\frac12,0)$ pero $D_2$ no lo es ya que se retrae fuertemente en la circunferencia $\mathbb{S}^1_{3}$: basta con tomar como retracción, $x\mapsto 3x/|x|$ y como deformación, $F(x,t)=(1-t)x+t r(x)$.