Al comienzo del tema de la topología producto, motivando porqué se define la topología producto tal como se hizo, se dijo algo del tipo "se tiene que definir la topología producto para que aquellas cosas que uno espera que sean ciertas, lo son". Dos ejemplos de ellos son los siguientes:
- Sean dos espacios topológicos $(X,\tau)$, $(Y,\tilde{\tau})$, $q\in Y$. Entonces $X\times\{q\}\cong X$. En el primer espacio estamos considerando la topología producto (o la inducida de la topología producto $\tau\times\tilde{\tau})$.
Como aplicación de lo anterior tenemos que $\mathbb{R}\times\{0\}\cong\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2\cong (0,1)\times(0,1)$.
Quedó en clase propuesto el ejercicio de ver que, siendo $(X,\tau)$ espacio topológico consideramos $ A={(x,x)\in X\times X : x\in X}$. Entonces:
ResponderEliminar$(X,\tau)\cong(A,\tau\times\tau_{|A})$
Definimos $f:(X,\tau)\rightarrow (X\times X,\tau\times\tau),\ f(x)=(x,x)$ Es inmediato comprobar que f es biyectiva. Para ver que es homeomorfismo veamos que ella y su inversa es continua.
$f$ es continua si y sólo si al componer con las proyecciones es continua.
$\forall x\in X (p \circ f)(x)=p(f(x))=p(x,x)=x$ Es decir, $p\circ f=1_{X}$ la identidad en $(X,\tau)$ y sabemos que la identidad entre dos espacios topológicos iguales es continua, por lo tanto $f$ es continua.
Como $Im(f)=A,\ f:(X,\tau)\rightarrow (A,\tau\times\tau_{|A})$ es continua, por ser la restricción de una función continua, continua.
Ahora bien, $f^{-1}:(X\times X,\tau\times\tau)\rightarrow (X,\tau), f^{-1}((x,x))=x$ es una proyección, por lo tanto continua. Como $A\subset X, f^{-1}_{|A}:(A,\tau\times\tau_{|A})\rightarrow(X,\tau)$ es una restriccion de una función continua, lo cual implica que $f^{-1}$ es continua y con esto tenemos que los espacios son homeomorfos.
Perdón, al final de todo quería decir que $A\subset X\times X$
ResponderEliminarVaya hombre, y al comienzo, al definir el conjunto A, se me han olvidado las llaves, quedaría de la siguiente manera:
ResponderEliminar$ A=\{(x,x)\in X\times X : x\in X\}$