Dado un conjunto X, la diagonal principal es el subconjunto de X\times X dado por
D=\{(x,x);x\in X\}.
Este conjunto NO es un producto cartesiano de DOS subconjuntos de X, a no ser que X tenga sólo un elemento. Efectivamente, supongamos D=A\times B, para ciertos conjuntos A y B. Sean x,y\in X, x\not=y. Como
(x,x),(y,y)\in A\times B, entonces x,y\in A\cap B. Por tanto (x,y)\in A\times B=D, es decir, x=y: contradicción.
Sabemos de clase que si (X,\tau) es un espacio topológico, entonces (D,(\tau\times\tau)_{|D}) es homeomorfo a (X,\tau).
Finalmente, si queremos estudiar la continuidad de cierta aplicación que llega a D, NO podemos decir que será continua si su composición con las proyecciones que salen de D, también son continuas, ya que no hay tales proyecciones.
D=\{(x,x);x\in X\}.
Este conjunto NO es un producto cartesiano de DOS subconjuntos de X, a no ser que X tenga sólo un elemento. Efectivamente, supongamos D=A\times B, para ciertos conjuntos A y B. Sean x,y\in X, x\not=y. Como
(x,x),(y,y)\in A\times B, entonces x,y\in A\cap B. Por tanto (x,y)\in A\times B=D, es decir, x=y: contradicción.
Sabemos de clase que si (X,\tau) es un espacio topológico, entonces (D,(\tau\times\tau)_{|D}) es homeomorfo a (X,\tau).
Finalmente, si queremos estudiar la continuidad de cierta aplicación que llega a D, NO podemos decir que será continua si su composición con las proyecciones que salen de D, también son continuas, ya que no hay tales proyecciones.
No hay comentarios:
Publicar un comentario