Cuando nos imaginamos que un subconjunto del espacio euclídeo está formado por varios trozos, y por tanto no es conexo, muchas veces es porque podemos "separar" o "distinguir" dichos trozos. El ejemplo que se hizo en clase de que el conjunto (de $R^3$) formado por dos personas es no conexo es un botón de muestra.
Otro ejemplo es el siguiente. En el espacio $R^3$, sea $X=X_1\cup X_2$, donde $X_1$ es la bola de radio 1 centrada en el punto $(0,4,0)$ y $X_2$ es la recta $x=0,y=-2$. Tomamos el plano $P$ de ecuación $y=1$. Entonces $P$ 'separa' $X_1$ de $X_2$, además, en dos abiertos. Concretamente, si $P^+=\{y>1\}$ y $P^{-}=\{y<1\}$, estos semiespacios son abiertos de $R^3$, al ser cada uno de ellos imágenes inversas, mediante aplicaciones continuas, de abiertos. Además $X_1=P^{+}\cap X$ y $X_2=P^{-}\cap X$, probando que $X$ no es conexo.
El siguiente ejemplo nos dice que para separar uno puede usar 'cosas' que no sean planos. Así, en el plano $R^2$ tomamos $X=C_1\cup C_2$, donde $C_1$ y $C_2$ son circunferencias centradas en el origen de radios 1 y 2, respectivamente. La aplicación continua de $R^2$ en $R$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ nos dice que $A=\{(x,y);x^2+y^2<9/4\}$ y $B=\{(x,y);x^2+y^2>9/4\}$ son abiertos de $R^2$ y que $C_1=X\cap A$ y $C_2=X\cap B$, probando que $X$ no es conexo.
