Cuando nos imaginamos que un subconjunto del espacio euclídeo está formado por varios trozos, y por tanto no es conexo, muchas veces es porque podemos "separar" o "distinguir" dichos trozos. El ejemplo que se hizo en clase de que el conjunto (de $R^3$) formado por dos personas es no conexo es un botón de muestra.
Otro ejemplo es el siguiente. En el espacio $R^3$, sea $X=X_1\cup X_2$, donde $X_1$ es la bola de radio 1 centrada en el punto $(0,4,0)$ y $X_2$ es la recta $x=0,y=-2$. Tomamos el plano $P$ de ecuación $y=1$. Entonces $P$ 'separa' $X_1$ de $X_2$, además, en dos abiertos. Concretamente, si $P^+=\{y>1\}$ y $P^{-}=\{y<1\}$, estos semiespacios son abiertos de $R^3$, al ser cada uno de ellos imágenes inversas, mediante aplicaciones continuas, de abiertos. Además $X_1=P^{+}\cap X$ y $X_2=P^{-}\cap X$, probando que $X$ no es conexo.
El siguiente ejemplo nos dice que para separar uno puede usar 'cosas' que no sean planos. Así, en el plano $R^2$ tomamos $X=C_1\cup C_2$, donde $C_1$ y $C_2$ son circunferencias centradas en el origen de radios 1 y 2, respectivamente. La aplicación continua de $R^2$ en $R$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ nos dice que $A=\{(x,y);x^2+y^2<9/4\}$ y $B=\{(x,y);x^2+y^2>9/4\}$ son abiertos de $R^2$ y que $C_1=X\cap A$ y $C_2=X\cap B$, probando que $X$ no es conexo.
mi nombre jhon f tavera
ResponderEliminarpreche_tavera@hotmailcom
señor Rafael Lopez quiesiera hacerle una preguntilla no propiamnete de este tema
cuando definimos espacios topologicos, definimos un espacio y una clase de Tao de abiertos, ahora sea G un T-abierto decimos que su complemento es lo que le falta para ser el espacio
es decir estamos tomando ese espacio como si fuera el universal
decimos que el vacio es la nada y el universal es el todo pero si nosotros tomamos como espacio digamos los numeros naturales del uno al dies se sabe que esos elementos no son el todo y eso lo sabemos porque hacemos un estudio desde una mirada externa a ese espacio talvez si aguien viviera dentro de ese espacio esa ¨persona¨si veria ese espacio como el todo;
mi pregunta es pues si lo que llamamos vacio es la nada realmente o se podria definir como el conjunto de elementos que no pertenecen al espacio es decir admitir que nuestro universo es subconjunto de un universo mayor eso nos lleva a pensar cual es el mas grande; pues creo que una buena definicion seria que el universal el conjunto cuyo complemeto es el mismo;
la pregunta es ¿si realmente esto que le he escrito pueda ser cierto por que si o por que no???? gracias
muy interesante su propuesta muchacho jaja
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