Conexión y dimensión (II)

Continuando con la entrada anterior, estudiamos la conexión del conjunto $X={\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n-\Delta$,  donde $\Delta=\{(x,x):x\in{\mathbb R}^n\}$. Podemos ver $X$ como el producto cartesiano del espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$ consigo mismo al que le hemos quitado su diagonal. Observemos que si $n > 1$, este conjunto no es ${\mathbb R}^{n^2}-\{(x,\ldots,x):x\in{\mathbb R}\}$.
Si $n=1$, entonces  $X=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y < x\}\cup\{(x,y)\in{\mathbb R}^2:x > y\}$, poniendo el conjunto como unión de dos conjuntos abiertos y disjuntos: esto prueba que $X$ no es conexo.
Veamos ahora que si $n\geq 2$, entones $X$ es conexo. Y como habitualmente hacemos, probamos  que dados dos puntos de $X$, existe un conjunto conexo (en $X$) que los contiene. Sean $(x,y),(x',y')\in X$. Sin perder generalidad, supongamos que $x\not=x'$y por tanto, al no estar ambos pares en $\Delta$, entonces $y\not=y'$. Cojamos cualquier arco continuo $\alpha:I=[0,1]\rightarrow{\mathbb R}^n$ que una $x$ con $x'$ (por ejemplo el segmento que los une). Tomamos ahora $\beta:I\rightarrow{\mathbb R}^n$ otro arco uniendo $y$ con $y'$ pero que no interseque a $\alpha$, es decir, $\alpha(I)\cap\beta(I)=\emptyset$: esto es posible por que $n\geq 2$. Entonces $$\alpha\times\beta:I\rightarrow{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n, (\alpha\times\beta)(t)=(\alpha(t),\beta(t))$$
une $(x,y)$ con $(x',y')$ porque $$(\alpha\times\beta)(0)=(\alpha(0),\beta(0))=(x,y),\ (\alpha\times\beta)(1)=(\alpha(1),\beta(1))=(x',y').$$
El conjunto $(\alpha\times\beta)(I)$ es un conjunto conexo (imagen continua de un conexo) y no interseca a $\Delta$: si $(a,a)\in (\alpha\times\beta)(I)$, entonces existe $t\in I$ tal que $(\alpha\times\beta)(t)=(a,a)$ luego $a\in \alpha(I)\cap \beta(I)$, es decir, $\alpha$ y $\beta$ se intersecan.
La demostración prueba realmente que $X$ es arcoconexo.
Observación: el mismo argumento no es válido si $n=1$. Por ejemplo, tomemos $(x,y)=(1,2)$ y $(x',y')=(3,4)$. Un arco de ${\mathbb R}$ que una $x$ con $x'$ es el segmento que los une, es decir, el intervalo cerrado $[1,3]$. Sin embargo no existe un arco en ${\mathbb R}$ uniendo $2$ y $4$ que no interseque al intervalo anterior. Por tanto, la dimensión del espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$ juega un papel fundamental en el razonamiento anterior.

Conexión y dimensión

Hay muchos ejemplos de subconjuntos del espacio euclídeo cuya propiedad de conexión cambia al cambiar de dimensión. Un ejemplo conocido es el conjunto complementario de un hiperplano afín, es decir, $X={\mathbb R}^n-H$, donde $H$ es un hiperplano afín de ${\mathbb R}^n$. Un hiperplano afín es un subespacio afín de dimensión $n-1$ y no es más que es una traslación de un hiperplano vectorial. Por tanto, después de una traslación de ${\mathbb R}^n$, podemos suponer que $H$ es un hiperplano vectorial. Aclaro esta parte. Supongamos que $H=p_0+U$, donde $p_0\in {\mathbb R}^n$ y  $U$ es un hiperplano vectorial. Consideramos $f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^n$ la traslación $f(p)=p-p_0$. Es evidente que $f(H)=U$. Como $f$ es biyectiva, $$f(X)=f({\mathbb R}^n-H)=f({\mathbb R}^n)-f(H)={\mathbb R}^n-U.$$ Ya que $f$ es un homeomorfismo, la propiedad de conexión de $X$ e la misma que $f(X)$. Por tanto, nos restringimos a $f(X)$.

Por un proceso parecido, después de un isomorfismo de ${\mathbb R}^n$, podemos suponer que $H$ es el hiperplano vectorial de ecuación $x_n=0$. Analizamos las diferentes dimensiones.

Si $n=1$, entonces $X={\mathbb R}-\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, luego $X$ no es conexo. 

Si $n=2$, entonces $$X={\mathbb R}^2-\{(x,y):y=0\}=\{(x,y):y < 0\}\cup \{(x,y): y > 0\}.$$ Este conjunto se puede escribir como $$X=({\mathbb R}\times (-\infty,0))\cup((0,\infty)\times {\mathbb R}),$$ que es unión de dos abiertos (producto de abiertos de ${\mathbb R}$) y conexos (productos de intervalos) de ${\mathbb R}^2$. Por tanto, estos dos conjuntos son las componentes conexas de $X$ y así, $X$ no es conexo.

Si $n\geq 3$, el conjunto $X$ es conexo. Hay varias maneras de probarlo y una es probar que dados dos puntos de $X$, existe  un conjunto conexo en $X$ que contiene a ambos puntos.  Se sabe que ${\mathbb R}^n-\{(0,\ldots,0)\}$ es conexo si $n\geq 2$.  Sean $p,q\in X$. Tomamos las rectas   $L$ y $L'$ que pasan por $p$ y $q$ respectivamente con vector de dirección $(1,0,\ldots,0)$. Estas rectas están en $X$ pues la última coordenada de sus puntos es $p_n$ o $q_n$, que no es cero. Las rectas intersecan el hiperplano de ecuación $x_1=0$ en dos puntos, a saber, $p'=(0,p_2,\ldots,p_n)$, $q'=(0,q_2,\ldots,q_n)$. Estos puntos pertenecen a $Y=\{0\}\times ({\mathbb R}^{n-1}-\{(0,\ldots,0)\})\subset X$ que es conexo al ser homeomorfo a ${\mathbb R}^{n-1}-\{(0,\ldots,0)\}$ y ser $n-1\geq 2$. Por tanto, el conjunto conexo en $X$ que contiene a $p$ y a $q$ es $L\cup Y\cup L'$: es conexo al ser unión de tres conexos que uno y el siguiente no se intersecan.

El mismo razonamiento dice que $X$ es arcoconexo.

Probando que los intervalos son conexos usando compacidad

Vamos a probar que los intervalos de ${\mathbb R}$ son los únicos conjuntos conexos de  ${\mathbb R}$ usando el concepto de compacidad. En primer lugar, ya sabíamos que un conjunto conexo de ${\mathbb R}$ tiene que ser un intervalo. Por otro lado, es trivial que el conjunto vacío y los conjuntos formados por un punto, es decir, los intervalos cerrados de la forma $[x,x]$ son conexos. 

El resultado de compacidad que vamos a utilizar es que dados dos conjuntos compactos $A$ y $B$ de ${\mathbb R}$, la distancia se alcanza en dos puntos, es decir, existen $a\in A$ y $b\in B$ tal que  $d(a,b)=d(A,B)$ donde  $d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,b\in B\}$. También vamos a usar que los intervalos cerrados y acotados son compactos por el teorema de Heine-Borel. La prueba de que los intervalos son conexos la hacemos caso por caso.

En primer lugar, veamos que $[0,1]$ es conexo. Si $\{A,B\}$ es una partición por abiertos, también lo es por cerrados, y al ser cerrados de un compacto, $A$ y $B$ son compactos. Sean $a\in A$ y $b\in B$ tales que $d(a,b)=d(A,B)$. Ya $A\cap B=\emptyset$, este número debe ser positivo porque en caso contrario, $a\in   \overline{B}=B$. Sea  $c=(a+b)/2$. Entonces   $|c-a|=|(a-b)/2| < |a-b|$ lo que dice que  $c\not\in B$; y del mismo modo, tenemos  $c\not\in A$. Esto es una contradición porque $c$ se encuentra entre $a$ y $b$ y $[0,1]$ es un intervalo.

Una vez probado que $[0,1]$ es conexo, para los otros casos el razonamiento es fácil, pues
$$[0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[0,1-\frac{1}{n+1}],\ \ (0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[\frac{1}{n+1}, 1-\frac{1}{n+1}],$$
escribiendo ambos conjuntos como unión de conexos (intervalos cerrados y acotados) cuya intersección es no vacía.

Quitando subconjuntos

A la vista de muchos ejemplos hechos en clase, parece que si a ${\mathbb R}^2$ le quitamos un conjunto $A$ dado por "una ecuación", el conjunto no es conexo. Así ha sucedido con $A=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$, $A=\{(x,y):y=0\}$ o $A=\{(x,y):y-x^2=0\}$. Nos preguntamos si esto es cierto en general, y la respuesta es no.

Para centrar el problema, cogemos $A$ de la forma $A=\{(x,y):f(x,y)=c\}$, donde $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es una aplicación continua. Si tomamos $f(x,y)=x^2+y^2$ y $c=0$, entonces $A=\{(0,0)\}$ y por tanto, ${\mathbb R}^2-A={\mathbb R}^2-\{(0,0)\}$, que es conexo.

¿Podríamos buscar otro ejemplo algo más sofisticado?

Imagen continua de un conjunto no conexo

Sabemos que la imagen de un conjunto conexo mediante una aplicación es continua. Sin  embargo, si el espacio de partida no es conexo, puede ocurrir que sea o no sea conexo. Así, si $(X,\tau)$ es un conjunto no conexo, cualquier aplicación constante (que es continua), lleva el espacio en un punto, que es conexo. Veamos otro ejemplo, sin tomar una aplicación tan 'sencilla'.

Sea la función   $f(x)=x^2$. Tomamos $A=[-1,1]-\{0\}\subset {\mathbb R}$. Este conjunto no es conexo al no ser un intervalo. Su imagen mediante $f$ es $B=f(A)=(0,1]$, que es un intervalo, y por tanto, conexo. Con la misma aplicación, tomamos $A=[-2,-1]\cup [1,2]$, que no es conexo, pero $f(A)=[1,4]$, que sí es conexo.
 

Quitando conjuntos

Hoy ha surgido la duda siguiente: sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y  $A,B\subset X$. Si $A\cong B$, ¿$X-  A\cong X-  B$? La respuesta es no.

Podemos buscar ejemplos en espacios euclídeos.

Primero en $X={\mathbb R}$. Tomamos $A=(0,1)$ y $B=(0,\infty)$. Entonces ${\mathbb R}-  A$ no es conexo, pero ${\mathbb R}-  B$ sí lo es.

Segundo, consideramos $X={\mathbb R}^2$. Sean $A=(0,1)\times\{0\}$ y $B={\mathbb R}\times\{0\}$. Entonces $A\cong{\mathbb R}\cong B$. Pero ${\mathbb R}^2-  A\not\cong {\mathbb R}^2-  B$, ya que el primero es conexo y el segundo no.

Otro ejemplo aquí es: $A=B_1(0,0)$ y $B={\mathbb R}\times (0,\infty)$. Ambos son homeomorfos a ${\mathbb R}^2$, pero ${\mathbb R}^2-  $ no es conexo y ${\mathbb R}^2-B={\mathbb R}\times(-\infty,0]$ sí lo es.
 

Quitando puntos hasta dejar de ser conexo

Dado un espacio topológico conexo, y vamos quitando puntos, ¿hasta cuándo dejará de ser conexo?
Para concretar un poco el problema, si empezamos con la recta euclídea ${\mathbb R}$, al quitar un punto, no es conexo (por no ser un intervalo). Por tanto, es empezar a quitar puntos, y al momento deja de ser conexo.
Bien diferente es empezar con el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$. Ya hemos visto en clase que al quitar un punto, es conexo (es homeomorfo al cilindro). Si quitamos otro más, es decir, ${\mathbb R}^2$, menos dos puntos, también es conexo. Hay un ejercicio en la relación de problemas que dice que al quitar un conjunto numerable, entonces queda conexo.
Es evidente que si quitamos muchos, ya deja de ser conexo, por ejemplo, si quitamos una recta. Pero si vamos quitando uno a uno ¿dejará de ser conexo?
 

Tres espacios no homeomorfos entre sí

En el examen de febrero pregunté por tres espacios que no son  homeomorfos entre sí. Dichos espacios son subconjuntos del plano euclídeo: $A=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x^2+y^2\leq 1\}$,  $B=A-\{(1,0)\}$ y $C={\mathbb S}^1$. Se preguntaba que cualquier par de dichos espacios no son homeomorfos. Para ello se usa conexión y compacidad.

1. $A$ es compacto por ser cerrado y acotado. Es cerrado ya que $A=f^{-1}([0,1])$ donde $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$ es la aplicación continua $f(x,y)=x^2+y^2$.
2. $B$ no es compacto ya que no es cerrado, pues su adherencia es $A$: toda bola centrada en $(1,0)$ interseca a $B$.
3. $C$ es compacto por ser acotado y cerrado: es cerrado ya que $C=f^{-1}(\{1\})$.

Por tanto, sólo queda distinguir $A$ de $C$. Supongamos que $\phi:A\rightarrow {\mathbb S}^{-1}$ es un homeomorfismo. Entonces si $p,q\in A$, $A-\{p,q\}\cong {\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$. Por un lado, ${\mathbb S}^{-1}-\{\phi(p),\phi(q)\}$ no es conexo, ya que ${\mathbb S}^1-\{\phi(p)\}$ es homeomorfo a ${\mathbb R}$, luego al quitarle otro punto, no es conexo. Sin embargo $A-\{p,q\}$ es conexo. Para ello hay varios razonamientos, pero si tomamos $p,q$ en el borde de $A$, por ejemplo, $p=(1,0)$ y $q=-p$, entonces $A-\{p,q\}$ es un conjunto convexo y por tanto, es conexo.

Conexión en la esfera

Se va a probar que la esfera $\mathbb{S}^n$ menos un conjunto $A$ numerable de puntos es conexa: en verdad se demostrará que es arcoconexa.

Antes de la prueba, comentar que la demostración se puede hacer si sabemos ya que $\mathbb{R}^n-B$ es arcoconexo donde $B$ es un conjunto numerable de puntos. En tal caso, se usaría que $\mathbb{S}^n-\{p\}\cong \mathbb{R}^n$. Para aquellas personas que conozcan ese resultado sobre $\mathbb{R}^n-B$, recomiendo que hagan la demostración.

Probamos que $\mathbb{S}^n-A$ es conexo probando que dados dos puntos del conjunto existe un conjunto conexo de $\mathbb{S}^n-A$ que los contiene. Concretamente, ese conjunto va a ser un círculo máximo que pasa por ambos. Un círculo máximo es la intersección de un hiperplano vectorial de $\mathbb{R}^{n+1}$ con $\mathbb{S}^n$ (si alguien se ha perdido aquí, que considere $n=2$). Un círculo máximo es arcoconexo pues es homeomorfo a $\mathbb{S}^{n-1}$.

Tomamos dos puntos antípodas de $\mathbb{S}^n$ que no pertenecen a $A$: esto es posible, pues en caso contrario $\mathbb{S}^n\subset A$. Después de un movimiento rígido (que no cambia el problema), podemos suponer que ambos son el polo norte $N=(0,\ldots,1)$ y el polo sur $S=(0,\ldots,-1)$.

Consideramos el conjunto $D$ de círculos máximos que resultan de intersecar $\mathbb{S}^n$ con todos los hiperplanos que contienen al eje $x_{n+1}$. El conjunto $D$ es infinito no numerable ya que es biyectivo con el conjunto de rotaciones respecto del eje $x_{n+1}$. Además todos ellos se intersecan sólamente en dos puntos, a saber, $N$ y $S$.

Sean $p,q\in \mathbb{S}^n-A$. Afirmamos que existe $C\in D$ tal que $C\subset \mathbb{S}^n-A$ y $p,q\in C$. Si no fuera así, es porque cada círculo $C\in D$ interseca a $A$. Tomamos $a_C\in C\cap A$ un punto de la intersección (usamos para ello el axioma de elección). Entonces la aplicación $f:D\rightarrow A$ dada por $f(C)=a_C$ es inyectiva, ya que si se tienen dos círculos diferentes $C_1$ y $C_2$, los únicos puntos de intersección de ambos son $N$ y $S$, que no son $f(C_1)$ y $f(C_2)$. Finalmente, si $f$ es inyectiva, esto diría que $A$ es no numerable, llegando a una contradicción.

La clasificación de las letras

Francisco Reyes me ha enviado la clasificación topológica de las letras del abecedario, en mayúscula, indicando cuáles son homeomorfas entre sí y cuáles no. Os dejo para que la repaséis.

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-La A no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
2 salvo dos, que tienen orden uno, y no existe otra letra con dichas
características.
-La B no es homeomorfa a ninguna otra letra. Todos sus puntos tienen orden
1, al igual que la D y la O, pero no es homeomorfa a estas letras porque
haría falta 'pegar' y 'despegar' puntos para llevar una letra a la otra.
-La C es homeomorfa a la G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z. 'Deformando' o
cambiando de posición dichas letras, podemos formar unas letras a partir
de otras.
-La D es homeomorfa a la O. Todos los puntos de ambas son de orden 1, y
deformando ligeramente el lado vertical de la D hacia la izquierda, se
'obtiene' la O.
-La E es homeomorfa a la F. Ambas tienen un punto de orden 3 y el resto de
orden 2. Es fácil obtener la E a partir de la F.
-La H no es homeomorfa a ninguna otra letra, puesto que no existe otra
distina que tenga dos puntos de orden 3 y el resto de orden 2.
-La K es homeomorfa a la X. Ambas tienen un punto de orden 4 y el resto de
orden 2, y 'torciendo' los lados verticales de la K hacia la izquierda se
forma la X.
-La Ñ no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con todos
sus puntos de orden 3.
-La P no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La Q no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La R no es homeomorfa a ninguna otra letra.
-La T no es homeomorfa a ninguna otra letra. Tiene un punto de orden 3 y
el resto de orden 2, pero no es homeomorfa a la E y a la F porque habría
que 'pegar' y 'despegar' puntos.
-La Y no es homeomorfa a ninguna otra letra al ser la única con un punto
de orden 3 y el resto de orden 1.

Cabe destacar que la Q ha sido considerada con el 'rabito' sin
introducirse en el agujero de dentro, y la Z sin 'rabito' central.

********************

Por mi parte, creo que la Y es homeomorfa a la T

Orden de intersección

En un espacio topológico $X$, un punto $p\in X$ se dice que tiene orden de intersección $n\in\mathbb{N}$ si $X-\{p\}$ tiene exactamente $n$ componentes conexas. Evidentemente, el orden de intersección es un invariante topológico. Ha sido justamente éste el que se ha usado para distinguir las letras. Pongo más ejemplos de ello.

La letra H no es homeomorfa a Y. Y esto es por que la letra H tiene dos puntos de orden 3. Si la letra Y fuera homeomorfa a H, tendría dos puntos de orden 3. Sin embargo sólo tiene uno.

En la letra H todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto dos, que tiene orden de intersección 3. En la letra Y todos los puntos tienen orden de intersección 2, excepto un punto que tiene orden 3.

Por último, la letra Y no es homeomorfa a la letra R. Ésta tiene sólo un punto de orden 3, pero tiene otros puntos de orden 1, es decir, al quitar el punto, el conjunto que queda es conexo.

¡ FELIZ NAVIDAD !... y conexión

Siguiendo con la entrada anterior sobre 'letras', tomo la expresión ¡ FELIZ NAVIDAD ! y clasifico topológicamente cada uno de sus elementos. Primero, los signos de admiración ¡ y ! son homeomorfos entre sí, y no son homeomorfos a ninguna letra ya que las letras son conexas, pero los signos de admiración no: cada uno tiene dos componentes conexas.

Para el resto, la clasificación es:

• Las letras L, I, Z, N y V son homeomorfas entre sí. Además, son homeomorfas a un intervalo abierto $(a,b)$.
• Las letras F y E son homeomorfas entre sí.
• La letra D no es homeomorfa a ninguna y es homeomorfa a $\mathbb{S}^1$.
• Lo mismo pasa con la letra A.
• La letra F tiene un punto que al quitarlo queda tres componentes conexas, cosa que no pasa ni para L, D y A.
• La letra A tiene exactamente dos puntos que al quitarlos queda dos componentes conexas: esto no pasa a L (hay infinitos) ni a D, que no tiene ninguno.
• La letra D no es homeomorfa a L, pues al quitarle un punto, queda conexo, y esto no sucede con la letra L.

Sobre letras

Todos los años, al llegar al tema de conexión y explicar las componentes conexas, siempre hago referencia a un ejercicio que vi hace tiempo en un libro de topología en el que se distinguía topológicamente las letras del alfabeto. Concretamente, vamos a suponer las letras del alfabeto escritas en mayúsculas, es decir, A B C D E, etc. El problema es, como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$, distinguirlas topológicamente. Y usaremos conexión y componentes conexas.

En principio, y para simplificar las dificultades que se pueden prestar, supondré que cuanto una letra acaba en un trozo de segmento, el 'último' punto no está en la letra, es decir, considero ese extremo abierto. Por ejemplo, los dos extremos inferiores de la letra A no están incluidos en la letra.

Empiezo con la letra A y B. Ambas son conexas, pero no son homeomorfas. Supongo que hay un homeomorfismo f entre A y B. En la letra A, considero uno de los dos puntos de intersección entre el segmento vertical de la izquierda y el segmento horizontal. Llamo a ese punto $p$. Mediante el homeomorfismo f, dicho punto irá a alguno $f(p)$ de la letra B. Quito $p$ de $A$ y por tanto, $A-\{p\}$ es homeomorfo a $B-\{f(p)\}$. Sin embargo $A-\{p\}$ tiene dos componentes conexas, y si quito cualquier punto de la letra B, siempre queda conexo. Por tanto, llegamos a una contradicción, probando que A no es homeomorfo a B.

Del mismo modo, la letra E no es homeomorfa a la letra A. Para ello, tomamos el punto q y por tanto $E-\{q\}$ es homeomorfo a $A-\{f(q)\}$. En la letra A no hay puntos que al quitarlos quede tres componentes conexas. Esta contradicción prueba que A no es homeomorfa a E.

Y así podemos seguir con todas las letras del alfabeto.

Por ejemplo, las letras C, I, J y L son homeomorfas entre sí: son todas homeomorfas al intervalo $(0,1)$.

Sobre conos

La conexión, como invariante topológico, nos sirve para distinguir espacios topológicos ¡aunque ambos sean conexos!

Un ejemplo es considerar el cono. Tomamos $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2\}$, que aparece en la siguiente figura.

Y tomamos el conjunto $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$, que es el auténtico cono de los helados.

Entonces, usando un argumento de conexión, $X$ no es homeomorfo a $Y$. Llamamos $p=(0,0,0)$, que pertenece a ambos conjuntos. Concretamente, si $f:X\rightarrow Y$ es un homeomorfismo entre ellos, sea $f(p)=q$. Si restringimos $f$ al conjunto $X-\{p\}$ y su imagen, a saber, $Y-\{q\}$, queda un homemorfismo. Por tanto $X-\{p\}\cong Y-\{q\}$.

Sin embargo, $X-\{p\}$ no es conexo, concretamente, tiene dos componentes conexas:
$$X^+:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z>0\},$$
$$X^{-}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z<0\}.$$ Pero $Y-\{q\}$ es conexo. El conjunto $Y$ es homeomorfo $\mathbb{R}^2$ (usando la proyección $(x,y,z)\longmapsto (x,y)$). Por tanto, $Y-\{q\}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ menos un punto, que es conexo (además es homeomorfo a un cilindro $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$).

Separando mediante una función (II)

Siguiendo con la entrada de ayer, es conveniente aclarar dos cosas.

Primero es que el hecho de poder 'separar' el conjunto en dos 'partes' no quiere decir que tenga exactamente dos  componentes conexas, sino, como se dijo ayer, que el conjunto no es conexo, y por tanto, tiene al menos dos componentes conexas. Así por ejemplo, si $X$ es el conjunto de $\mathbb{R}^2$ dado por tres puntos, a saber, $X=\{(0,-2),(0,-1),(0,1)\}$, la recta $y=0$ separa el conjunto, es decir,
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
El conjunto $X\cap f^{-1}((-\infty,0))$ no es conexo, aunque sí lo es $X\cap f^{-1}((0,\infty))$. En verdad, los tres puntos constituyen las componentes conexas, es decir, hay tres.

La segunda observación es que un conjunto puede no ser conexo, y puede que no haya una función $f$ que pueda separar el mismo. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ no es conexo en $\mathbb{R}^2$, y yo al menos no soy capaz de encontrar una función continua que 'separe' el conjunto en dos trozos.

Finalmente, y enlazando con esto último, os dejo como ejercicio encontrar un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ que tenga exactamente dos componentes conexas y no sea claro encontrar una función que separe el conjunto en dos trozos (en el ejemplo anterior, el conjunto tiene infinitas componentes conexas).

Separando mediante una función

A veces, la prueba de que un conjunto de $\mathbb{R}^n$ no es conexo es conseguir "separarlo" de algún modo. Un ejemplo podría ser el siguiente. En $\mathbb{R}^2$, tomamos como conjunto $X=\{(x,y);y=1\}\cup \{(0,-1)\}$. Este conjunto no es conexo, pues
$$X=(X\cap\{(x,y);y<0\})\cup (X\cap \{(x,y);y>0\})$$
y cada uno de los dos conjuntos anteriores son abiertos de $X$ y no triviales. Por supuesto, es una partición de $X$ ya que $X$ no tiene puntos con $y=0$.

Se puede pensar que lo que se ha hecho con $X$ es probar que el plano $y=0$ lo separa. Definimos la función en $\mathbb{R}^2$ dada por $f(x,y)=0$, a cual es continua. El grafo de la función es el plano $P$ de ecuación $y=0$, el cual separa $X$ en el sentido que $X$ no corta el grafo, y hay puntos de $X$ con $f$ positiva y punto de $X$ con $f$ negativa. Por tanto, una partición por abiertos y no trivial de $X$ es
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,0)))\cup (X\cap f^{-1}((0,\infty))).$$
Igual que se ha hecho con $f(x,y)=0$, se puede considerar otras funciones para otros conjuntos. Por ejemplo, tomamos en $\mathbb{R}^3$ el conjunto $X=\{(0,0)\}\cup \{(x,y);y=2\}$. Este conjunto no es conexo porque  la función $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ separa $X$ del siguiente modo:
$$X=(X\cap f^{-1}((-\infty,1)))\cup (X\cap f^{-1}((1,\infty))).$$
O dicho con palabras, lo de dentro de la bola de radio 1 y lo de fuera de dicha bola.

Distinguir intervalos

¿Hay alguna forma de distinguir topológicamente el intervalo $[0,1)$ y $(0,1)$, con la topología usual, y que no sea usando un argumento de conexión?

Si podemos "separar"...

Cuando nos imaginamos que un subconjunto del espacio euclídeo está formado por varios trozos, y por tanto no es conexo, muchas veces es porque podemos "separar" o "distinguir" dichos trozos. El ejemplo que se hizo en clase de que el conjunto (de $R^3$) formado por dos personas es no conexo es un botón de muestra.

Otro ejemplo es el siguiente. En el espacio $R^3$, sea $X=X_1\cup X_2$, donde $X_1$ es la bola de radio 1 centrada en el punto $(0,4,0)$ y $X_2$ es la recta $x=0,y=-2$. Tomamos el plano $P$ de ecuación $y=1$. Entonces $P$ 'separa' $X_1$ de $X_2$, además, en dos abiertos. Concretamente, si $P^+=\{y>1\}$ y $P^{-}=\{y<1\}$, estos semiespacios son abiertos de $R^3$, al ser cada uno de ellos imágenes inversas, mediante aplicaciones continuas, de abiertos. Además $X_1=P^{+}\cap X$ y $X_2=P^{-}\cap X$, probando que $X$ no es conexo.

El siguiente ejemplo nos dice que para separar uno puede usar 'cosas' que no sean planos. Así, en el plano $R^2$ tomamos $X=C_1\cup C_2$, donde $C_1$ y $C_2$ son circunferencias centradas en el origen de radios 1 y 2, respectivamente. La aplicación continua de $R^2$ en $R$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ nos dice que $A=\{(x,y);x^2+y^2<9/4\}$ y $B=\{(x,y);x^2+y^2>9/4\}$ son abiertos de $R^2$ y que $C_1=X\cap A$ y $C_2=X\cap B$, probando que $X$ no es conexo.

Conexión y soluciones de una ecuación

El próximo tema se dedica a estudiar el concepto de conexión. Éste es clave en Topología y para motivarlo vemos a continuación su relación con la existencia de soluciones de una ecuación. El siguiente ejemplo es sencillo e incluso muy simple, porque buscamos soluciones de ecuaciones en subconjuntos de los números reales $\mathbb{R}$, hay que verlo mucho más allá, en verdad, bastante más, ya que por "ecuación" y por "conjunto" uno puede pensar en cosas mucho, muchísimo más abstractas.

Consideramos $X=[0,1]\cup[2,3]$ y la aplicación $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x)=-1$ si $x\in [0,1]$ y $f(x)=1$ si $x\in [2,3]$. Esta aplicación es ¡continua!. Consideramos la ecuación $f(x)=0$ y buscamos soluciones en $X$. Está claro que no hay soluciones.

Consideramos ahora $X=[0,1]$ y $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2+x+1$. De nuevo $f$ es continua y si queremos buscar soluciones de $f(x)=2$, podemos hallarlas simplemente resolviendo la ecuación.

Modificamos este ejemplo, cambiando $f$ por $f(x)=\sin(\pi x/2)+e^x-1$ y con la misma ecuación $f(x)=2$. Lo primero, e importante, es decir que uno no puede probar la existencia "resolviendo" la ecuación, ya que es imposible. Sin embargo, el valor de $f$ en los extremos de $X$ es $f(0)=1$ y $f(1)=e>2$. Aunque uno no sabe dibujar la gráfica de $f$, sabemos que $f$ une el punto $(0,1)$ con $(1,e)$ y como no podemos levantar el lápiz del papel, en algún momento cruzará con la recta $y=2$ (puede que incluso varias veces), probando que la existencia de solución. Ver el dibujo.

Olvidándonos ahora por cómo responder a la pregunta ¿pero cuál es la solución?, lo cual a veces no es importante, sí hemos probado que existe solución, que a veces sí es importante. Usando terminología de Cálculo, hemos usado el "Teorema del Valor Intermedio".

Lo que hay detrás de la existencia de soluciones es: 1) $X$ es considerado un espacio topológico, en este caso, con la topología usual (¿dónde se ha usado?), 2) $f$ es continua y 3) el hecho de que $X$ está formado por un único "trozo", a diferencia del primer ejemplo.

La conexión estudia, en cierta manera, los "trozos" de que está hecho un espacio topológico.

¿Qué prefieres, conexo o arcoconexo?

Muchos de los ejercicios que hemos hecho para saber si un subconjunto de un espacio euclídeo es conexo, han sido consistido en verdad en probar que el conjunto es arcoconexo: se tomaba dos puntos cualesquiera y se encontraba un conexo que los contuviera. Pero, generalmente, dicho conjunto no era más que la imagen de un camino en el espacio.

Es natural preguntarse si el concepto de arcoconexión es "más importante" que el de conexión, sin saber muy bien a qué me refiero con "importante". Pero dejo la cuestión ahí. Habrá que saber mucha topología para saber dar una respuesta adecuada.

Lo último que puedo decir es que cuando uno estudia el grupo fundamental de un espacio topológico, concepto muy importante en topología algebraica, todo gira alrededor de caminos del espacio.