Un blog de la asignatura "Topología I" del Grado en Matemáticas de la Universidad de Granada
lunes, 18 de abril de 2011
¿Sólo quitar un punto?
Consideramos un espacio topológico (X,\tau) y p\in X. Sea A=X-\{p\} con la topología inducida. Considerando la inclusión de A en X, ¿es X una compactificación por un punto de A? Razonar las respuestas.
Pregunta: X debe ser compacto cierto? si no lo es como podría ser una compactificacion? (lo pregunto porque solo comienza diciendo (X,\tau) un espacio..
Como dice anónimo, el espacio dado tiene que ser compacto. Además, para que sea la compactificación por un punto, A no puede ser compacto. Con esto vemos que A no puede ser cerrado (la compacidad es hereditaria a cerrados, contradicción) La inclusión, obviamente, es embebimiento.
Solo faltaría ver que i(A)=A es denso en X Si no lo fuera significa que existe un entorno de p que no corta a A Pero el único conjunto que contiene a p que no corta a A es \{p\} Esto nos dice que \{p\}\in\tau por lo que X- \{p\}=A es cerrado y, lo que nos interesa, compacto en X.
Pero ya dijimos antes que A no era compacto.
Por lo tanto es la compactificación por un punto de (A,\tau_{|A}
Pregunta: X debe ser compacto cierto? si no lo es como podría ser una compactificacion? (lo pregunto porque solo comienza diciendo (X,\tau) un espacio..
ResponderEliminarComo dice anónimo, el espacio dado tiene que ser compacto.
ResponderEliminarAdemás, para que sea la compactificación por un punto, A no puede ser compacto. Con esto vemos que A no puede ser cerrado (la compacidad es hereditaria a cerrados, contradicción)
La inclusión, obviamente, es embebimiento.
Solo faltaría ver que i(A)=A es denso en X
Si no lo fuera significa que existe un entorno de p que no corta a A
Pero el único conjunto que contiene a p que no corta a A es \{p\}
Esto nos dice que \{p\}\in\tau por lo que X- \{p\}=A es cerrado y, lo que nos interesa, compacto en X.
Pero ya dijimos antes que A no era compacto.
Por lo tanto es la compactificación por un punto de (A,\tau_{|A}