Cocientes de cuadrados

Hemos visto en clase que si tomamos $X=[0,1]\times [0,1]$ con la relación de equivalencia que identifica los puntos de $\{0\}\times [0,1]$ con los de $\{1\}\times [0,1]$ con la misma ordenada, entonces el cociente es homeomorfo al cilindro $S^1\times [0,1]$. La demostración ha sido sencilla por el hecho de que $X$ es compacto.

Esa misma relación, pero en $Y=[0,1]\times (0,1)$ da como cociente un espacio homeomorfo al cilindro abierto $S^1\times (0,1)$ (ahora $Y$ no es compacto).

Me pregunto si sería posible probar ese homeomorfismo usando que $X/R\cong S^1\times [0,1]$ y que $Y\subset X.