Intersección de conjuntos compactos

Ayer hicimos en clase el ejercicio que afirma que en un espacio Hausdorff, la intersección de dos subconjuntos compactos es también compacto. Si el espacio no es Hausdorff, el resultado no es cierto. Quiero dejar en esta entrada el ejemplo que pensamos.

Consideramos en $\mathbb{R}$ la topología a derechas $\tau$, es decir, aquélla que tiene por base $\beta=\{[a,\infty);a\in\mathbb{R}\}$. El espacio $(\mathbb{R},\tau)$ no es Hausdorff. Consideramos $A=\{-1\}\cup (0,1)$ y $B=\{-2\}\cup (0,1)$. El conjunto A es compacto, pues si $\{[a_i,\infty);i\in I\}$ es un recubrimiento de $A$, alguno de estos abiertos debe contener al punto $x=-1$. Si $[a_{i_0},\infty)$ es dicho abierto, entonces $A\subset [a_{i_0},\infty)$. Del mismo modo, $B$ es compacto.

La intersección $A\cap B$ es $(0,1)$, pero este conjunto no es compacto ya que $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un recubrimiento por abiertos y no hay un subrecubrimiento finito: la unión de un subrecubrimiento finito de $\{[1/n,\infty);i\in \mathbb{N}\}$ es un conjunto de la forma $[1/m,\infty)$, que no contiene a $(0,1)$.