Como ya os habréis dado cuenta, desde hace más de un mes, no ha habido más entradas en el blog porque las clases de la asignatura acabaron a finales de enero. Como ya he escrito varias veces, este blog es un blog de la asignatura y con la finalización del curso también 'finaliza' el blog hasta el curso próximo (alrededores de finales de septiembre de 2012).
De todas formas, intentaré ir publicando de vez en cuando.
También hago una invitación a que cualquier persona que quiera publicar algo (siguiendo el espíritu del blog), no tiene nada más que enviarme el texto y yo lo escribo directamente en el blog. Y por supuesto, haré referencias a quién es el autor de la entrada.
En esta entrada voy a proponeros un ejercicio muy interesante que me dijo hace unos días el profesor Alfonso Romero.
Consideramos un espacio vectorial real $V$ de dimensión $n$, y sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base del mismo. Se considera el isomorfismo de espacios vectoriales $f:\mathbb{R}^n\rightarrow V$ dado por
$$f(x_1,\ldots,x_n)=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n.$$
Justamente la inversa de $f$ es la aplicación que me lleva todo vector de $V$ en sus coordenadas respecto de la base $B$.
Consideramos en $\mathbb{R}^n$ la topología usual $\tau_u$ y en $V$ consideramos la única topología $\tau_B$ que hace que $f_B:(\mathbb{R}^n,\tau_u)\rightarrow (V,\tau_B)$ sea un homeomorfismo.
Nos preguntamos qué pasa si en vez de tomar la base $B$ tomamos otra. Así, si $B'$ es otra base de $V$, tendríamos otro isomorfismo $f_{B'}$ de espacios vectoriales entre $\mathbb{R}^n$ y $V$ y otra topología $\tau_{B'}$ en $V$.
El ejercicio consiste en probar que $\tau_B=\tau_{B'}$.
De todas formas, intentaré ir publicando de vez en cuando.
También hago una invitación a que cualquier persona que quiera publicar algo (siguiendo el espíritu del blog), no tiene nada más que enviarme el texto y yo lo escribo directamente en el blog. Y por supuesto, haré referencias a quién es el autor de la entrada.
En esta entrada voy a proponeros un ejercicio muy interesante que me dijo hace unos días el profesor Alfonso Romero.
Consideramos un espacio vectorial real $V$ de dimensión $n$, y sea $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base del mismo. Se considera el isomorfismo de espacios vectoriales $f:\mathbb{R}^n\rightarrow V$ dado por
$$f(x_1,\ldots,x_n)=x_1 e_1+\ldots+x_n e_n.$$
Justamente la inversa de $f$ es la aplicación que me lleva todo vector de $V$ en sus coordenadas respecto de la base $B$.
Consideramos en $\mathbb{R}^n$ la topología usual $\tau_u$ y en $V$ consideramos la única topología $\tau_B$ que hace que $f_B:(\mathbb{R}^n,\tau_u)\rightarrow (V,\tau_B)$ sea un homeomorfismo.
Nos preguntamos qué pasa si en vez de tomar la base $B$ tomamos otra. Así, si $B'$ es otra base de $V$, tendríamos otro isomorfismo $f_{B'}$ de espacios vectoriales entre $\mathbb{R}^n$ y $V$ y otra topología $\tau_{B'}$ en $V$.
El ejercicio consiste en probar que $\tau_B=\tau_{B'}$.
Creo que es bastante simple. Sea $id:(V,\tau_{B})\rightarrow(V,\tau_{B´})$. Entonces ver que $\tau_{B}=\tau_{B´}$ es equivalente a ver que $id$ es un homeomorfismo. Pero $id$ induce una función $(f_{B´})^{-1}\circ id\circ f_{B}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, la cual al ser un isomorfismo (lineal) se convierte en un homeomorfismo de $\mathbb{R}^{n}$ en sí mismo. Finalmente, $id=f_{B´}\circ (f_{B´})^{-1}\circ id\circ f_{B}\circ f_{B}$ es una composición de homeomorfismos y por ende un homeomorfismo.
ResponderEliminarPerdón por el error: $id=f_{B´}\circ(f_{B´}^{-1}\circ id\circ f_{B})\circ f_{B}^{-1}$ es composición de homeomorfismos.
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