Topología cociente y topología inducida (III)

Seguimos con las entradas anteriores.

Tomamos el espacio $X=[0,1]\times{\mathbb R}$ con la relación que $(x,y)R(x',y')$ si son iguales o si $y=y'$ y $x,x'\in\{0,1\}$. Sabemos que el cociente es homeomorfo al cilindro $Y={\mathbb S}^1\times{\mathbb R}$. La identificación que nos sirve es $f:X\rightarrow Y$, $f(x,y)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x),y)$.

Tomamos ahora un conjunto $A\subset X$, que sea R-saturado, y nos preguntamos qué conjuntos $A$ son aquéllos en los que  $\tau/R)_{|p(A)}=(\tau_{|A})/R$.

Una condición suficiente es que $p(A)$ sea abierto o sea cerrado. En nuestro caso, sabemos que $f$ es cerrada. También, que $\bar{f}:X/R\rightarrow Y$ es homeomorfismo, luego ${\bar{f}}^{-1}$ también es cerrada. De esta forma, $p={\bar{f}}^{-1}\circ f$ es una aplicación cerrada.  Por tanto, tomando un conjunto $A$ cerrado, entonces en $p(A)$ tenemos la igualdad de las dos topologías.

En nuestro caso, $A=[0,1]\times [0,1]$. De esta forma, podemos afirmar que $A/R$ es homeomorfo a $f(A)$, es decir,
$$[0,1]\times [0,1]/R\cong {\mathbb S}^{1}\times [0,1].$$