Continuamos con la entrada anterior, volviendo al ejemplo último: $X=[0,1]$, $R$ la relación de equivalencia que identifica el $0$ con el $1$. Tomamos varios ejemplos de conjuntos $A$: $[0,1/2)\cup \{1\}$, $(1/4,3/4)$ y $[0,1]-\{1/2\}$. Todos estos conjuntos son saturados. Aquí la topología $\tau$ es la usual y denotamos por $S$ la relación inducida en $A$. La topología inducida en $A$ también es la usual, y la denotamos también por $\tau$.
Para el espacio $(p(A),(\tau/R)_{|p(A)}$ lo que hacemos es ver el espacio $p(A)$ como subconjunto de ${\mathbb S}^1$.
En el primer ejemplo, el conjunto cociente $(A/S,\tau/S)$ es homeomorfo a $[0,1/2)$. Basta con definir $f:A\rightarrow [0,1/2)$ como $f(x)=x$ si $x\not= 1$ y $f(1)=0$. Esta aplicación es ¡continua! (pensar) y tiene una inversa por la derecha que no es más que la inclusión.
Por otro lado, $p(A)$ es, en la circunferencia ${\mathbb S}^1$, la midad de ella, empezando en el ángulo $\theta=0$ (incluido en $p(A)$) y acabando en $\theta=\pi$, que no está incluido. Y es evidente que este conjunto es homeomorfo a $[0,1/2)$ (lo dejo también para que lo penséis).
Por tanto, aquí sí tenemos la igualdad de las dos topologías
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