Dado un conjunto y $\beta$ una familia de subconjuntos, las dos propiedades que tiene que satisfacer $\beta$ para que sea base de una topología en $X$ es que $X$ sea unión de elementos de $\beta$ y la segunda es que para todo $B_1, B_2\in\beta$ y $x\in B_1\cap B_2$, existe $B_3\in\beta$ tal que $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Una manera de usar este resultado para construir topologías es encontrar una familia de subconjuntos $\beta$ donde la intersección de dos elementos de $\beta$ sea otro elemento de $\beta$. Así se toma en la segunda propiedad $B_3$ como la propia intersección. Esto nos permitió definir la topología usual y la topología de Sorgenfrey en $\mathbb{R}$.
Otra forma de conseguir la segunda propiedad es que la intersección de dos elementos de $\beta$ sea vacía, y por tanto, se satisface inmediatamente. Como conclusión tenemos:
Teorema: Si $\beta$ es una familia de subconjuntos de $X$ tal que $X$ es unión de elementos de $\beta$ y la intersección de dos elementos cualesquiera sea vacía, entonces $\beta$ es base de una topología.
Como ejemplo, si en un conjunto $X$ tomamos la partición $\beta=\{\{x\}: x\in X\}$, entonces se genera una topología. No es difícil probar que dicha topología es la topología discreta de $X$.
Otro ejemplo es en $\mathbb{R}$ tomar la partición
$$\beta=\{[n,n+1): n\in{\mathbb N}\}.$$
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