Un nuevo espacio topológico

Una manera simple de construir topologías a partir de otras es la siguiente. Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico. Supongamos que $X$ es un subconjunto de otro conjunto más grande $Y$.

En $Y$ se construye una topología que no es más que añadir a $\tau$ el conjunto $Y$, es decir,
$$\tau'=\tau\cup\{Y\}$$ es una topología en $Y$.

Observemos:

1. Los conjuntos cerrados de $(X,\tau)$ no coinciden con los de $(Y,\tau')$. En verdad, casi ninguno. ¿Cuántos? 
2. Si $\beta$ es una base de $(X,\tau)$, $\beta$ no es base de $(Y,\tau')$. ¿Y al revés?