Continuando con las identificaciones, ponemos otro ejemplo, sin que el espacio cociente sea 'conocido' de antemano. Para ello, consideramos la aplicación seno, $f:[0,2\pi]\rightarrow [-1,1]$, $f(x)=\sin(x)$. Esta aplicación es continua, sobreyectiva y cerrada, luego es una identificación. ¿Cuál es la relación $R_f$?
Si $xR_f y$, entonces $\sin(x)=\sin(y)$. Usando que $x,y\in [0,2\pi]$, esto ocurre sólo en dos casos: 1) si $x+y=\pi$, con $x,y\in [0,\pi]$; 2) $x+y=\pi$, con $x,y\in [\pi,2\pi]$. Si nos imaginamos la gráfica de la función seno, entre $0$ y $2\pi$, entonces podemos imaginarnos que el primer trozo, de $0$ a $\pi$, se identifica en $[0,\pi/2$], y lo mismo entre $\pi$ y $2\pi$ con $\pi$, $3\pi/2$, y además, los extremos de estos dos intervalos están relacionados. Por tanto, el cociente va a ser la figura del ocho, '8'. Esta figura la podemos ver como dos circunferencias del mismo radio tangentes en un punto: $$Y={\mathbb S}^1(1,0)\cup{\mathbb S}^1(-1,0).$$ La dificultad ahora es encontrar la aplicación identificacion.
Definimos $g:[0,2\pi]\rightarrow Y$ como $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
(1,0)+(\cos(2 x+\pi),\sin(2 x+\pi)) & x\in [0,\pi]\\
(-1,0)+(\cos(2 x),\sin(2 x)) & x\in [\pi,2\pi]
\end{array}\right.$$
Esta aplicación está bien definida ya que en $x=\pi$ coincide ambas expresiones (es el punto $(0,0)$); es continua ya que es continua en cada uno de los trozos y éstos son conjuntos cerrados de $[0,2\pi]$; y es sobreyectiva. Por tanto, es una identificación. Queda por probar que la relación $R_f$ es $R_g$, pero esto parece evidente.
Si $xR_f y$, entonces $\sin(x)=\sin(y)$. Usando que $x,y\in [0,2\pi]$, esto ocurre sólo en dos casos: 1) si $x+y=\pi$, con $x,y\in [0,\pi]$; 2) $x+y=\pi$, con $x,y\in [\pi,2\pi]$. Si nos imaginamos la gráfica de la función seno, entre $0$ y $2\pi$, entonces podemos imaginarnos que el primer trozo, de $0$ a $\pi$, se identifica en $[0,\pi/2$], y lo mismo entre $\pi$ y $2\pi$ con $\pi$, $3\pi/2$, y además, los extremos de estos dos intervalos están relacionados. Por tanto, el cociente va a ser la figura del ocho, '8'. Esta figura la podemos ver como dos circunferencias del mismo radio tangentes en un punto: $$Y={\mathbb S}^1(1,0)\cup{\mathbb S}^1(-1,0).$$ La dificultad ahora es encontrar la aplicación identificacion.
Definimos $g:[0,2\pi]\rightarrow Y$ como $$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
(1,0)+(\cos(2 x+\pi),\sin(2 x+\pi)) & x\in [0,\pi]\\
(-1,0)+(\cos(2 x),\sin(2 x)) & x\in [\pi,2\pi]
\end{array}\right.$$
Esta aplicación está bien definida ya que en $x=\pi$ coincide ambas expresiones (es el punto $(0,0)$); es continua ya que es continua en cada uno de los trozos y éstos son conjuntos cerrados de $[0,2\pi]$; y es sobreyectiva. Por tanto, es una identificación. Queda por probar que la relación $R_f$ es $R_g$, pero esto parece evidente.
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