Una identificación es casi un homeomorfismo. Concretamente, si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una identificación, entonces $\tau'=\tau(f):=\{O'\subset Y: f^{-1}(O')\in\tau\}$. Si $f$ fuera biyectiva, entonces esta igualdad equivale a decir que $f$ es un homeomorfismo.
En general, una identificación no es inyectiva, y por tanto, si $R_f$ es la relación de equivalencia asociada a $f$, el conjunto cociente $X/R_f$ no es trivial: si $f$ es biyectiva, entonces $X/R_f=X$, ya que $[x]=\{x\}$.
Justamente, por no ser inyectiva, el homeomorfismo $(X/R_f,\tau/R_f)\cong (Y,\tau')$ quiere decir que los puntos que tienen la misma imagen por $f$, se identifican en uno sólo en el cociente.
Consideramos un ejemplo de identificación (no inyectiva), y para ello, ponemos que el dominio sea un conjunto cerrado y acotado de un espacio euclídeo, lo que asegura que la aplicación sea cerrada. Sea, pues, $X=[0,2]$ y $f:[0,2]\rightarrow [1,2]$ definida por: $$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}1 & x\in [0,1] \\ x &x\in [1,2]\end{array}\right.$$ Es evidente que esta aplicación es continua y sobreyectiva (ver figura). Ya que $[0,2]$ es un conjunto cerrado y acotado de ${\mathbb R}$, entonces $f$ es cerrada, y por tanto, una identificación. Esto implica $$\frac{[0,2]}{R_f}\cong [1,2].$$ En la figura, el intervalo $[0,2]$, está pintando de azúl, y el codominio (homeomorfo al cociente), de rojo. La relación $R_f$ es la que identifica todos los puntos de $[0,1]$ en uno sólo, es decir, es como si pegáramos el intervalo $[0,1]$, subconjunto de $[0,2]$, en el punto $1$, y por tanto, nos queda $[1,2].
En general, una identificación no es inyectiva, y por tanto, si $R_f$ es la relación de equivalencia asociada a $f$, el conjunto cociente $X/R_f$ no es trivial: si $f$ es biyectiva, entonces $X/R_f=X$, ya que $[x]=\{x\}$.
Justamente, por no ser inyectiva, el homeomorfismo $(X/R_f,\tau/R_f)\cong (Y,\tau')$ quiere decir que los puntos que tienen la misma imagen por $f$, se identifican en uno sólo en el cociente.
Consideramos un ejemplo de identificación (no inyectiva), y para ello, ponemos que el dominio sea un conjunto cerrado y acotado de un espacio euclídeo, lo que asegura que la aplicación sea cerrada. Sea, pues, $X=[0,2]$ y $f:[0,2]\rightarrow [1,2]$ definida por: $$f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}1 & x\in [0,1] \\ x &x\in [1,2]\end{array}\right.$$ Es evidente que esta aplicación es continua y sobreyectiva (ver figura). Ya que $[0,2]$ es un conjunto cerrado y acotado de ${\mathbb R}$, entonces $f$ es cerrada, y por tanto, una identificación. Esto implica $$\frac{[0,2]}{R_f}\cong [1,2].$$ En la figura, el intervalo $[0,2]$, está pintando de azúl, y el codominio (homeomorfo al cociente), de rojo. La relación $R_f$ es la que identifica todos los puntos de $[0,1]$ en uno sólo, es decir, es como si pegáramos el intervalo $[0,1]$, subconjunto de $[0,2]$, en el punto $1$, y por tanto, nos queda $[1,2].
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