Descubriendo puntos donde falla la continuidad

En las entradas anteriores, hemos usado el siguiente resultado:

Si $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es una aplicación, y $O'\in\tau'$ satisface $f^{-1}(O')\not\in\tau$, entonces $f$ no es continua en algún punto de $f^{-1}(O')$.

Efectivamente, si $f^{-1}(O')$ no es un abierto es porque existe $x\in f^{-1}(O')$ que no es interior a $f^{-1}(O')$. Veamos que $f$ no es continua en $x$.  Como $O'$ es un entorno de $f(x)$, si $f$ fuera continua en $x$, existiría un abierto $O\in\tau$, con $x\in O$, tal que $f(O)\subset O'$. Pero es claro entonces que $$x\in O\subset f^{-1}(f(O))\subset f^{-1}(O')$$probando que $x\in int(f^{-1}(O'))$: contradicción.

Además hemos probado algo más: en los puntos $f^{-1}(O')-int(f^{-1}(O'))$, la aplicación no es continua.