Continuidad de una función a trozos

Consideramos la función $f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ definida por $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1&x\geq 0\\ 0 &x < 0\end{array}\right.$$Tomamos  en ${\mathbb R}$, tanto en el dominio como en el codominio, la topología que tiene por base $\beta=\{[a,b]: a < b\}$, es decir, la topología de Sorgenfrey.
En principio, no sabemos si es continua en todos los puntos. Para aplicaciones 'sencillas' como ésta, lo mejor es empezar a estudiar la continuidad global, y si no fuera continua, entonces estudiar punto a punto.  Antes de proseguir, tres puntualizaciones.

1. Como venimos de primero con la topología usual, inmediatamente uno piensa algo parecido a lo siguiente: "el punto problemático es el punto $x=0$, porque hay un salto, y en los demás puntos, la aplicación es continua". Error. La topología no es la usual, y por tanto, el punto $x=0$ no es ni mejor ni peor que cualquier otro punto. Además, lo de 'salto' es si estamos con la topología usual.
2. Como tenemos una base de la topología, usamos la caracterización de continuidad mediante bases.
3. Una parte de este tipo de ejercicios, a veces difícil, es hallar imágenes inversas. Habitualmente, durante los estudios de matemáticas, no se han hecho muchos ejercicios (¿ninguno?) de hallar imágenes inversas, o lo que es parecido, de estudiar la sobreyectividad de una aplicación.

Lo fácil de este ejercicio es que la aplicación es constante a trozos, y por tanto, es muy sencillo hallar la imagen inversa. Sea un intervalo de la forma $[a,b)$. Entonces es inmediato:
$$f^{-1}([a,b))=\left\{\begin{array}{ll}\emptyset&\mbox{si $0,1\not\in [a,b)$}\\
[0,\infty)&\mbox{si $1\in[a,b)$ y $0\not\in [a,b)$}\\
(-\infty,0)&\mbox{si $0\in[a,b)$ y $1\not\in [a,b)$}\\
{\mathbb R}& \mbox{si $0,1\in [a,b)$}
\end{array}\right.$$ Ya que los intervalos $[0,\infty), (-\infty,0)$ son abiertos en la topología $\tau(\beta)$, la aplicación $f$ es continua.