Distancias equivalentes

Dos distancias equivalentes en un conjunto son las que determinan la mima topología. Es conocido que una condición suficiente para que $d$ y $d'$ sean equivalentes es que existan $k,m > 0$ tal que $d\leq k d'$ y $d'\leq m d$. Sin embargo el recíproco no es cierto. En esta entrada ponemos un ejemplo.

Sea $X=\{1/n:n\in {\mathbb N}\}\cup \mathbb N$ (el número $0$ no está incluído en $X$) y consideramos la distancia euclídea $d_u$ y la distancia discreta $d$ ($d(x,y)=1$ si son distintos y $d(x,x)=0$). La topología que generan las dos distancias es la discreta, pero no existen  $k, m  > 0$ tales que $d_{u}\leq k d$ y $d\leq m d_{u}$.

Para la imposibilidad de $d\leq m d_{u}$, tomamos un número natural $n$ tal que  $m < n(n+1)$ y sean $x=1/(n+1)$ y $y=1/n$. Entonces $d(x,y)=1$ pero $md_u(x,y)=m/(n(n+1))  < 1=d(x,y)$.

Tampoco es cierta la desigualdad  $d_{u}\leq k d$, y para ello usamos los números naturales que están en $X$. Pero aquí os lo dejo propuesto porque, aunque es fácil e intuitivo, formalizarlo cuesta un poco de trabajo.
 

Distancias no equivalentes

En el espacio $X$ de las funciones continuas de $[0,1]$ consideramos las dos distancias que hemos definido en clase:$$d(f,g)=\int_{0}^{1}|f(x)-g(x)|dx$$ $$d'(d,g)=\max\{|f(x)-g(x)|: 0\leq x\leq 1\}.$$
Estas dos distancias no son equivalentes. Concretamente, usando la entrada anterior, y ya que $d'\leq d$, se tiene $\tau'\subset\tau$.

Sin embargo, $\tau\not\subset\tau'$. Para ello, vamos a mostrar una sucesión $\{f_n\}\rightarrow g$ en $\tau'$, pero no es convergente en $\tau$. Definimos
$$f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 &  \mbox{si $0\leq x\leq 1-\frac{1}{n}$}\\
n(x-1)+1 & \mbox{si $1-\frac{1}{n}\leq x\leq 1$}.
\end{array}
\right.$$
Entonces
$$d(f_n,g)=\int_{0}^1f_n(x)\ dx=\frac{1}{2n}\rightarrow 0,$$
pero
$$d'(f_n,g)=\max\{f_n(x):0\leq x\leq 1\}=1$$
que no converge a $0$, luego $\{f_n\}$ no converge a $g=0$ para la distancia $d'$.
Un dibujo de las funciones $f_n$ es el siguiente:

Observemos que las funciones $f_n$ no convergen puntualmente a la función $g=0$, aunque la propiedad sólo falla en $x=1$.