¿Sólo quitar un punto?

Consideramos un espacio topológico $(X,\tau)$ y $p\in X$. Sea $A=X-\{p\}$ con la topología inducida. Considerando la inclusión de $A$ en $X$, ¿es $X$ una compactificación por un punto de $A$? Razonar las respuestas.

Actualización del blog

He actualizado la parte del blog referida a "Exámenes de los temas del curso 10/11". He añadido los últimos exámenes, incluido el parcial, así como las correspondientes soluciones.

Fusión nuclear y topología

Un tokamak es un dispositivo que contiene plasma magnético y que según la Wikipedia sirve para "obtener la fusión de las partículas del plasma, lo que generaría grandes cantidades de energía".

En la última entrada sobre el teorema de Tietze, había un ejemplo de que el resultado no es cierto si cambiaba el codominio del espacio. El ejemplo era con el círculo, y me ha venido a la cabeza (enlazando también con hacer una entrada "divulgativa" para el Carnaval) el "teorema de la bola peluda". Este teorema se ha comentado en clase. Dice que si uno tiene un campo de vectores tangente y continuo en la esfera de dimensión 2, se tiene que anular en un punto. Como los vectores tangentes a un punto de la esfera son vectores perpendiculares a dicho punto, se puede enunciar el teorema del siguiente modo: Sea $f:S^2\rightarrow S^2$ una aplicación continua. Entonces existe un punto p donde p y f(p) no son perpendiculares: en caso contrario, si fueran perpendiculares, f(p) define un campo de vectores tangentes a $S^2$ y como $f(p)\in S^2$, no se anula: contradicción.

Lo primero que me gustaría decir es que es un teorema topológico de los buenos.

Lo segundo es que podéis ver en internet muchas entradas sobre dicho teorema (por ejemplo, en gaussianos ) Siempre se dice (y es cierto) que dicho teorema justifica que al peinar una bola aparece un remolino: los pelos son vectores en cada punto de la esfera; al peinar, se hacen tangentes. Esto hace lo "popular" de dicho teorema. En verdad, los pelos de nuestra cabeza no se encuentran en una esfera; es más, y usando la proyección estereográfica con un abierto del plano, se puede probar que efectivamente sí se puede peinar los pelos de nuestras cabezas sin que aparezcan remolinos.

También se dice que, debido a este teorema, en la Tierra siempre hay un punto donde no hay viento. En este caso nos estamos imaginando en cada punto de la Tierra un vector tangente que nos indica la dirección del viento (estamos suponiendo que el viento se mueve horizontalmente en cada punto de la Tierra). También se dice que el teorema demuestra la existencia del "ojo del huracán", ese punto donde no hay viento.

El hecho de ser la esfera $S^2$ es importante. Si cambiamos, por ejemplo, la esfera por un toro, entonces sí existen campos tangentes al toro que no se anulan. He puesto dos toros con sendos campos tangentes no nulos en cada punto. En el de la izquierda, los vectores son, además, tangentes a meridianos. En el de la derecha, tangentes a paralelos.

Por todo lo anterior, este teorema es muy popular. En mi opinión, y sin ser un topólogo, creo que este teorema tiene consecuencias bastantes más profundas en Topología, y que le vale su importancia.

Esta entrada es para llamar la atención sobre otra "aplicación" del teorema que he visto leyendo en internet y que me parece interesante (y más en estos días con "ciertos" problemas nucleares). Es una aplicación en "fusión nuclear".

Volviendo al tokamak. En lo que nos atañe decir que la forma de dicho aparato es un toro ¿porqué? El campo magnético creado en el aparato es un campo de vectores tangentes. Si el campo se anula en algún punto, sería un punto de inestabilidad del dispositivo, lo cual no interesa. Por tanto los físicos, para hacer los experimentos, empiezan tomando una superficie en forma de toro donde al menos es posible construir los campos magnéticos que le interesan. O dicho de otro modo, si en vez de ser un toro, fuera una esfera, el teorema de la bola peluda aseguraría la existencia de un punto donde dicho campo se anula (no sabemos dónde estaría dicho punto, pero sabríamos que existiría), lo cual sería una dificultad en los experimentos.

Dos últimas curiosidades. La primera es que también existe el stellarator, también de forma toroidal. Y otra es que el tokamak fue inventado en los años 50 por dos físicos rusos Ígor Tam y Andréi Sájarov. Recuerdo de mi juventud que Sajarov fue un disidente ruso, en contra del comunismo, que le valió el Premio Nobel de la Paz en 1975: ¡quién me lo iba a decir hoy la relación entre el teorema de la bola peluda y Sajarov!

(Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas y cuyo blog anfitrión es Gaussianos.)

Calentar monedas y el Teorema de Tietze

Consideramos una moneda y supongamos que calentamos el borde de la misma (la temperatura en dicho borde no tiene porqué ser constante, si no que puede variar de punto a punto). Nos preguntamos si es posible calentar toda la moneda de forma que la temperatura en el borde sea la que hemos prefijada. La respuesta es afirmativa y nos lo asegura el Teorema de Tietze. De nuevo, este teorema, como el del lema de Urysohn de la entrada anterior, entra dentro de ese imaginario matemático formado por teoremas de "existencia" o "extensión".

El Teorema de Tietze nos dice que en un espacio topológico normal, si C es un cerrado y $f:C\rightarrow R$ una aplicación continua, entonces f se puede extender de forma continua a todo X, es decir, existe una aplicación continua $F:X\rightarrow R$ tal que $F=f$ en C. Lo "curioso" del teorema es que lo útil del mismo es la existencia pero no cómo es la función F, que de todas formas, es impresionantemente farragosa. Si volvemos a la moneda, nos imaginamos que la misma es el subconjunto de $R^2$ dado por $D=\{(x,y);x^2+y^2\leq 1\}$ y $C=\{(x,y)\in D;x^2+y^2=1\}$, que es cerrado en D. El conjunto D es un espacio métrico, luego es normal. La función temperatura que tenemos prefijada en el borde es una aplicación $f:C\rightarrow R$, que es continua (la temperatura de un punto a otro cercano cambia poco). Entonces la aplicación F que nos da el Teorema de Tietze nos dice cómo calentar la moneda D de forma que en el borde dicha temperatura coincida con la f dada. (Si queréis ver diferentes demostraciones del Teorema de extensión de Tietze, os recomiendo: "El Teorema de extensión de Tietze", F. García, M. L. Puertas, Divulgaciones Matemáticas Vol. 10 (2002), 63-78).

(Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas y cuyo blog anfitrión es Gaussianos.)