Sobre intervalos de R

Cada curso que empiezo de Topología siempre surge una dificultad al trabajar con los intervalos de $R$. La cuestión que propongo es la siguiente. Consideramos en la recta real $R$ diferentes topologías y el ejercicio que se plantea es tomar un subconjunto de $R$ y estudiar si es un conjunto abierto y si es cerrado. La confusión aparece inmediatamente cuando dicho conjunto es un intervalo.

La razón es que, antes de la asignatura de Topología, el alumno sabe que hay intervalos abiertos, intervalos cerrados, semiabiertos, semicerrados, etc. Y la dificultad se encuentra en qué relación hay entre la palabra 'abierto' en 'intervalo abierto' y el hecho de ser un 'conjunto abierto'.

La respuesta es bien sencilla: dependiendo de la topología, un intervalo (¡del tipo que sea!) será o no conjunto abierto. Y lo mismo, con cerrado.

Y también hay un 'error' común y es en fijarse sólo en los extremos del intervalo, como si los demás puntos del intervalo no sirvieran para nada.

Para simplificar, en esta entrada voy a tratar el problema de estudiar si el conjunto es abierto, y lo voy a hacer con un ejemplo. Tomamos en $R$ la topología de Sorgenfrey T1, la T2 que tiene por base los intervalos de la forma $(a,\infty)$ y la topología del punto incluido tomando como punto distinguido $p=0$.

Consideramos el intervalo abierto $A=(0,1)$ y nos preguntamos si es abierto en cada una de las topologías. 

1. Para T1, $A$ es abierto pues $A=\cup_{n\in N}[\frac{1}{n},1)$. 
2. Para T2, $A$ no es abierto, pues si tomo $x=1/2$, si $A$ fuera abierto, existiría un elemento de la base $(a,\infty)$ tal que $x\in (a,\infty)\subset A$, lo cual es imposible. 
3. Para T3, $A$ no es abierto pues no contiene a $p$.

Si nos fijamos, no he 'tocado' el asunto sobre los 'extremos' del intervalo.

Tomo ahora $A=[-2,1)$ (que no es un intervalo ni abierto ni cerrado), y hago lo mismo. 

1. Para T1, $A$ es abierto, pues es un elemento de la base. 
2. Para T2, $A$ no es abierto, y es el mismo razonamiento que se hizo para $(0,1)$. 
3. Para T3, $A$ es abierto pues contiene a $p$.

De nuevo, en ningún momento hablo de los extremos.

Como conclusión, si queremos estudiar la topología de un intervalo de $R$, cuando en $R$ hay una topología dada, nos tenemos que 'olvidar' si el intervalo es abierto o cerrado, y centrarnos en lo que nos pregunta. Por supuesto, usaremos que el conjunto es un 'intervalo'.

Sobre esto último, pongo un último ejemplo. Tomo el intervalo cerrado $A=[1,\infty)$. Este conjunto no es abierto ni en T2 ni en T3. Si nos dicen que no es abierto (lo cual es un un gran paso), es porque existirá un punto del conjunto $A$ tal que $A$ no es entorno suyo. Averiguar ese punto, en general, no es fácil, pero aquí sí lo es. ¡Cuidado!: no nos tenemos que fijar en los extremos del intervalo. 

1. Para T2 el único punto donde falla la propiedad es en $x=1$ (da la casualidad): no hay un intervalo de la forma $(a,\infty)$ tal que $1\in (a,\infty)\subset A$. Sin embargo, $A$ sí es entorno de todos los demás puntos de $A$. 
2. Para T3, el punto $p$ no está en $A$, luego $A$ no es abierto. En este caso, $A$ no es entorno de ningún punto suyo.

Espero que haya quedado clara la idea de este post.

Diferentes distancias, misma topología

Cada distancia en un conjunto da una topología. Es conocido que diferentes distancias pueden dar la misma topología, es decir, las distancias son equivalentes. El ejemplo que se pone habitualmente es el de $R^n$ con las tres distancias habituales que se definen en dicho conjunto.

Quiero mostrar aquí otro ejemplo. Sea $X$ un conjunto y se definen dos distancias $d$ y $d'$ del siguiente modo: si $x=y$, $d(x,x)=d'(x,x)=0$ y si $x\not=y$, entonces
$$d(x,y)=1,\ d'(x,y)=2.$$
Observar que las bolas no son iguales. Así, $B_2(x)=X$ y $B_2'(x)=\{x\}$.

Entonces la topología que induce $d$ es la misma que $d'$, y es justamente la topología discreta. Para ello basta tomas bases de entornos de $x\in X$:
$$\beta_x=\{B_r(x);0 < r < 1\}=\{\{x\}\}.$$ $$\beta_x'=\{B_r(x);0 < r < 2\}=\{\{x\}\}.$$ Pero el espacio topológico que tiene por base de entornos el propio punto es el espacio discreto.

Intersección de topologías

Es bien conocido el siguiente resultado. Sea $X$ un conjunto y $\tau_1$ y $\tau_2$ dos topologías en $X$. Entonces la intersección de las dos topologías $\tau_1\cap\tau_2$ es otra topología.

Os dejo que calculéis la intersección de dos topologías concretas. Exactamente. Sea $X$ un conjunto y $p\in X$. Si $\tau_1$ es la topología del punto incluido para $p$ y $\tau_2$ la del punto excluido para $p$ ¿cuál es $\tau_1\cap \tau_2$?

Diferente es la siguiente cuestión que os dejo para que penséis. Consideramos como antes $X$ con dos topologías. Sea

$$\tau=\{O_1\cap O_2;O_1\in\tau_1, O_2\in\tau_2\}.$$

¿Es $\tau$ una topología? Si la respuesta es 'sí', decir por qué; y si es 'no', poner un ejemplo.

Topología inducida en R

(Una vez empezado el curso, vamos a continuar con este blog, aunque este año va a ser algo diferente ya que la asignatura acaba en febrero.)

La topología inducida es un concepto fácil de definir pero a veces, cuesta un poco de trabajo en algunas situaciones. El caso que creo que es más ilustrativo es considerar en R la topología usual. Pongo algunos ejemplos.

Un punto $\{x\}$ es un conjunto cerrado pero no es abierto. Consideramos el conjunto de números enteros Z y la topología inducida. El conjunto $\{1\}$ es ahora un conjunto cerrado y abierto en Z.

El intervalo $[0,1)$ no es un conjunto abierto en R. El intervalo $[1,2)$ no es cerrado. Tomamos ahora el intervalo $X=[0,2)$ con la topología inducida. Entonces $[0,1)$ es un conjunto abierto en X y $[1,2)$ es un conjunto cerrado.

Os dejo aquí otro ejemplo, para que penséis. Tomamos X la sucesión $\{1/n;n\in N\}\cup\{0\}$. Estudiar si $\{0\}$ si es un conjunto abierto y si es cerrado en X.