Es bien conocido el siguiente resultado. Sea $X$ un conjunto y $\tau_1$ y $\tau_2$ dos topologías en $X$. Entonces la intersección de las dos topologías $\tau_1\cap\tau_2$ es otra topología.
Os dejo que calculéis la intersección de dos topologías concretas. Exactamente. Sea $X$ un conjunto y $p\in X$. Si $\tau_1$ es la topología del punto incluido para $p$ y $\tau_2$ la del punto excluido para $p$ ¿cuál es $\tau_1\cap \tau_2$?
Diferente es la siguiente cuestión que os dejo para que penséis. Consideramos como antes $X$ con dos topologías. Sea
$$\tau=\{O_1\cap O_2;O_1\in\tau_1, O_2\in\tau_2\}.$$
¿Es $\tau$ una topología? Si la respuesta es 'sí', decir por qué; y si es 'no', poner un ejemplo.
τ no es topología y aquí presento un ejemplo:
ResponderEliminarSea N los naturales, βd={[n,->[/n∈N} la base de la topología a derechas y βi={]<-,n]/n∈N} la base de la topología a izquierdas. Un abierto de la topología a derechas sería por ejemplo {3,4,5...} y uno de la topología a izquierdas {4,3,2,1}. Su intersección es claramente {3,4}. Haciendo lo mismo con otros dos abiertos de las respectivas topologías podríamos llegar a otra intersección que fuera por ejemplo {7,8}. Ahora bien, si τ fuese topología tendríamos que ∪_i∈I(O1∩O2) pertenece a la topología. Pero ∪_i∈I(O1∩O2)=∩_i∈I(O1∪O2) y en nuestro caso tendríamos que {3,4}∪{7,8}={3,4,7,8} que claramente no se puede expresar como intersección de un abierto de cada topología ya que entrarían también en la intersección los elementos de N comprendidos entre el 4 y el 8. Por tanto las uniones arbitrarias fallan y τ no es topología.
En el ejemplo que pones, beta_i y beta_d son realmente 'topologías', no 'bases de topologías'. Creo que el ejemplo es correcto.
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