Sierpinski

El espacio de Sierpinski $(X,\tau)$ se define del siguiente modo: $X=\{a,b\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ Para un estudiante podría ser un ejemplo de "una nueva definición que sólo sirve para fastidiarme". Por cierto, ¿sirve para algo? y cuando digo "sirve" significa si tiene utilidad en la vida de la calle.

Me preguntaba si el espacio de Sierpinski fue definido por el propio Sierpinski: esta es la motivación de esta entrada.

Waclaw Sierpinski (1882-1969) fue un matemático polaco que trabajó en teoría de números, teoría de conjuntos y topología. Podemos decir entonces que hacía "matemáticas duras". Es relativamente sorprendente para un estudiante (y para mí) de que muriera relativamente hace poco (1969), ya que estamos acostumbrados durante la licenciatura a estudiar resultados de matemáticos clásicos como Gauss, Lagrange, Fermat, etc. Podéis leer una biografía de Sierpinski en http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Sierpinski.html en su "Version for printing". Por cierto, dicha vida fue algo agitada por el devenir de las guerras mundiales del siglo XX.

Si uno va a internet y escribe simplemente "Sierpinski" se dará cuenta que es famoso por una serie de fractales que llevan su nombre. Cito algunos:

1. El triángulo de Sierpinski (1915).
2. La alfombra de Sierpinski (1916).

En este caso, sí fue el propio Sierpinski quien construyó (he puesto el año). También existe la pirámide de Sierpinski. Hay un cráter de la Luna que lleva su nombre. A grosso modo, los conjuntos fractales son conjuntos que se construyen a partir de un modelo que se repite una infinitud de veces. Más infórmación la podéis encontrar aquí y también aquí. Lo sorprendente es que estos conjuntos no tienen dimensión entera: un conjunto tiene dimensión 1 si localmente es como una curva; dimensión 2 si es como una superficie, y así sucesivamente. Los conjuntos fractales tienen dimensión, por ejemplo, 1'5. En el caso concreto del triángulo de Sierpinski tiene dimensión log(3)/log(2).

También existen los números de Sierpinski. Tanto le gustaba al propio Sierpinski los números que en su tumba reza "Waclaw Sierpinski, 1882-1969, explorador del infinito".

Sobre la utilidad, en varios sitios de internet uno puede leer que The Sierpinski space has important relations to the theory of computation and semantics.

Para acabar, me ha sido imposible averigurar si fue Sierpinski el que ideó el espacio topológico que lleva su nombre. Lo único que he visto en la red es algo así como "It is named after Waclaw Sierpinski.", es decir, en honor a Sierpinski.

Topología a derechas

En la recta de número reales $\mathbb{R}$ se definió la topología a derechas como aquélla que tiene por base $\beta=\{[x,\infty);x\in {\mathbb R}\}.$ Esta construcción se puede generalizar a conjuntos ordenados. Antes de decir cómo es la topología, pongamos un ejemplo que no sea $\mathbb{R}$ con el orden usual. Sea $Y$ un conjunto arbitrario y $X={\cal P}(Y)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $Y$. En $X$ se puede definir el siguiente orden $\leq$: para $A,B\in X$ se define $A\leq B$ si $A\subset B.$

De forma más general, sea $X$ un conjunto con una relación de orden $\leq$. Para cada elemento $x$ de $X$, se define $S_x=\{y\in X;x\leq y\}$. Se considera ahora $\beta=\{S_x;x\in X\}.$ Entonces $\beta$ es base de una cierta topología Td que se llama la topología a derechas de $X$ para la relación de orden $\leq.$ Es evidente que en el caso particular $X=\mathbb{R}$ y $\leq$ el orden usual de números reales, entonces se tiene la topología definida al principio, ya que $S_x=[x,\infty).$

Igual que se hizo en $(\mathbb{R},\leq)$, se puede probar que si $f:(X,\leq)\rightarrow (X,\leq)$ es una aplicación, entonces f es continua si y sólo si $f$ es creciente.

El espacio topológico $(X,Td)$ es conexo, ya que dos elementos de la base de topología siempre se intersecan.

Es muy fácil demostrar el siguiente resultado: sea $A$ un subconjunto de $X$. En $A$ existe un orden inducido $(X,\leq)$ y que denotaremos de la misma forma $\leq$. Entonces se puede probar que la topología inducida de Td en $A$ es la topología a derechas que hay en $A$ con la relación de orden $\leq$.

Antes del primer parcial

Ya he puesto en internet las soluciones del examen del tema 4.

Vuelvo a recordar que aquellas personas que hayan obtenido más de 5 en la media de los cuatros temas tendrá como mínimo dicha nota para el primer parcial. Si quiere subir nota, tiene que hacer dicho examen el próximo miércoles. A los que han tenido menos de 5 se le tendrán en cuenta (para subir) en la nota del primer parcial. Las notas saldrán en la semana de vuelta a clase.

Cualquier duda puede ser realizada a través de un correo electrónico antes del miércoles 28.

También recuerdo que hay unos ejercicios propuestos en la entrada del 15 de enero: ejercicios con Latex y algunos de ellos para hacerlos en grupos. Y también recordar que entradas en el blog así como comentarios cuenta en la nota del alumno a lo largo del curso.

Conexión: interior, frontera, ...

Sea A un subconjunto de un espacio topológico. En el caso de que A sea conexo, nos preguntamos si su interior, adherencia, frontera y exterior son conjuntos conexos. También al revés. Lo vemos en ejemplos:

1. El conjunto A es conexo pero no su exterior: en R, sea $A=(0,1)$. Entonces $ext(A)=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$ no es conexo al no ser un intervalo.
2. Se sabe que si $A$ es conexo, también lo es su adherencia.
3. El conjunto $A$ es conexo pero su frontera no es conexa: en el ejemplo anterior, Fr(A)={0,1}, que de nuevo no es conexo.
4. El conjunto $A$ es conexo, pero no interior: en $\mathbb{R}^2$, sea $$A=\overline{B_1(0,0)}\cup \overline{B_1(0,3)}. $$
   Entonces $$int(A)=B_1(0,0)\cup B_1(0,3) $$
   que no es conexo al ser la igualad anterior una partición por abiertos no trivial.

Ahora hacemos al revés.

1. El conjunto A no es conexo, pero sí su adherencia: en $\mathbb{R}$, sea $A=(0,1)\cup (1,2)$. Entonces A no es conexo y $\overline{A}=[0,2]$ es conexo.
   
2. 
   El conjunto $A$ no es conexo pero su exterior es conexo: sea $A=(-\infty,0]\cup (1,\infty)$ que no es conexo, pero $ext(A)=(0,1)$ sí lo es.
   
3. 
   El conjunto $A$ no es conexo pero su frontera es conexa: sea $A=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ que no es conexo pero $Fr(A)=\{0\}$ es conexo.
   
4. 
   El conjunto no es conexo pero sí su interior: sea $A=(3,4)\cup\{5\}$ que no es conexo pero $int(A)=(3,4)$.