Producto de la topología del punto excluido por sí misma

Sean X e y dos conjuntos, $a\in X, b\in Y$ y $T$ y $S$ las topologías del punto excluido en $X$ e $Y$, para los puntos $a$ y $b$, respectivamente. En $X\times Y$ se toma la topología $T^\prime$ del punto excluido para el punto $(a,b)$. En clase se propuso que se compararan las topologías $T\times S$ y $T^\prime$. Un ejercicio parecido se hizo para las topologías del punto incluido.

Veamos primero que $T\times S\subset T^\prime$. Para ello es suficiente con probar que si $O\in T, G\in S$, entonces $O\times G\in T^\prime$. Si $T=X$, $G=Y$, entonces es evidente que $O\times G\in T^\prime$. Supongamos ahora el caso que $a\not\in O$. Entonces $(a,b)\not\in O\times G$, y por tanto, $O\times G\in T^\prime$.

Por otro lado, la inclusión $T^\prime\subset T\times G$ no tiene porqué darse. Damos un contraejemplo. Sea $X=Y=\mathbb{R}$, $a=b=0$. El conjunto $V=\{(1,0)\}$ pertenece a $T^\prime$, sin embargo no es abierto en $T\times S$. Para ello, es suficiente con darse cuenta que el punto $(1,0)$ no es interior (para la topología $T\times T$) del conjunto: si lo fuera, existirían $O,G\in T$ tales que $(1,0)\in O\times G\subset V$. Como $0\in G$, entonces $G=\mathbb{R}$. Pero es evidente que $O\times\mathbb{R}\not\subset V=\{(1,0)\}$.