El Teorema de Borsuk que hemos dado afirma que dada una función continua en la esfera $S^2$, existe un punto donde la función coincide con su antípoda. Podemos afirmar que no sólo hay uno, sino infinitos.
Sea $f$ dicha función. Consideramos círculos máximos de la esfera, es decir, intersecciones de la esfera con planos que pasan por el centro de la misma. Estos círculos máximos son circunferencias con el mismo radio que la esfera y todo punto de cada círculo tiene un punto antípoda en dicho círculo.
Consideramos ahora un círculo máximo $C_1$ y restringimos f a dicho conjunto. Usando el Teorema de Bolzano del mismo modo que se hizo para esfera, existe $p_1$ en $C_1$ tal que $f(p_1)=f(-p_1)$. Sea ahora $C_2$ otro círculo máximo que no pase por $p_1$. para $C_2$ habrá el correspondiente punto $p2$ tal que $f(p2)=f(-p_2)$ y por tanto, distinto de $p_1$. Dicho punto $p_2$ podría estar en $C_1$. Dados $p_1$ y $p_2$ consideramos otro círculo máximo $C_3$ y el correspondiente $p_3$, y así sucesivamente.
Nos podemos preguntar por el tamaño del conjunto $A=\{p\in S^2;f(p)=f(-p)\}$. El razonamiento anterior nos dice que dicho conjunto es infinito numerable, pero no sé si es no numerable. También podría ocurrir que A estuviera contenido en un círculo máximo.
Pero ¿$int(A)\not=\emptyset$?, es decir, ¿existe un conjunto abierto $B$ en la esfera donde $f(p)=f(-p)$ para cualquier punto de $B$?
(por Nico Pérez)
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