Saber todos los conexos de un espacio

De los ejercicios hechos en clase del tipo si un espacio topológico es conexo o no quiero hacer una pequeña observación. Hay espacios "conocidos" del que nos preguntamos si es conexo. Por ejemplo, la esfera $S^n$. Otra cosa diferente es saber cuáles son todos los conjuntos conexos de la esfera. Esta pregunta tiene en general una respuesta difícil, ya que el número (y complejidad) de los subconjuntos de un espacio topológico es generalmente inmenso.

Sólo en algunos casos contados, se ha dado una respuesta "completa". Por ejemplo, los conjuntos conexos de $R$ con la topología usual son los intervalos. Pero si nos fijamos, pasando sólamente de $R$ a $R^2$, ya nos encontramos con una diversidad de casos y no tenemos una respuesta tan satisfactoria como la que se ha conseguido para $R$.

Todo viene a cuenta del ejemplo de la topología del punto incluido. Se ha visto que un conjunto $X$ con la topología del punto incluido es conexo. Pero también se ha probado cuáles son los conexos de $X$: si el conjunto contiene al punto destacado, entonces es conexo, y si no, no es conexo (a no ser que tenga sólo un punto). La clave en la solución de este problema en este caso concreto es que hemos sido capaces de saber cómo es la topología inducida en un conjunt $A$ de $X$. Concretamente,

• Si $p\in A$, entonces la topología es la topología del punto incluido en $A$ (para el mismo punto destacado).
• Si $p\not\in A$, entonces la topología es la discreta.

Sabido ya cómo es la topología inducida, da la casualidad que para ambas topologías ya se ha estudiado si el espacio es conexo (para la primera sí; para la segunda no, a no ser que el conjunto tenga un único elemento).