Sea R con la topología a derechas. Recuerdo (de clase) que la sucesión \{\frac{1}{n}\} converge a x=-80, ya que para el entorno de la base de entornos de x, esto es, U=[-80,\infty), todos los elementos de la sucesión pertenecen a U.
En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: \{x_n\}\rightarrow x si y sólo si, a partir de un cierto lugar, x\leq x_n.
Cambiemos de topología en R y consideremos T la que tiene por base \beta=\{(a,\infty);a\in R. Una base de entornos de x es \beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface x\leq x_n, entonces converge a x. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión \{-1/n\} converge a 0, pues dado un entorno U=(-1/m,\infty), si n\geq m, entonces 1/n\in U.
Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.
En general, teníamos carecterizadas la sucesiones convergentes del siguiente modo: \{x_n\}\rightarrow x si y sólo si, a partir de un cierto lugar, x\leq x_n.
Cambiemos de topología en R y consideremos T la que tiene por base \beta=\{(a,\infty);a\in R. Una base de entornos de x es \beta_x=\{(x-1/n,\infty);n\in N\}. Por tanto, si una sucesión, a partir de un cierto lugar, satisface x\leq x_n, entonces converge a x. Sin embargo, no es cierto el recíproco. Así, la sucesión \{-1/n\} converge a 0, pues dado un entorno U=(-1/m,\infty), si n\geq m, entonces 1/n\in U.
Por tanto, hay sucesiones convergentes en T que no lo son en la topología a derechas.
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