Continúo con la entrada anterior. La demostración de la existencia de la base $\gamma$ aparece en los apuntes del tema 5 (proposición 1.6.6 y corolario siguiente. Directamente de ambos, es la siguiente prueba. Sea $\beta=\{B_i;i\in I\}$ y $\beta^\prime$ una base numerable. Se define $\gamma=\{B_{ij};\exists i,j\in I, B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_j^\prime, B_{ij}\in\beta, B_{i}^{\prime},B_{j}^{\prime}\in\beta^{\prime}\}$. Este conjunto no es vacío. Para ello, sea B_{j}^{\prime} cualquiera y x un elemento suyo. Entonces existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{j}^{\prime}$. Como
$\beta^{\prime}$ es base, existe $B_{i}^{\prime}, x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$.
Para cada para $(i,j)\in I\times I$, puede haber muchos conjuntos $B_z$. Tomamos uno y lo fijamos (usamos el axioma de elección). Y lo llamamos $B_{ij}$. Si $\gamma$ es base, ya hemos acabado, ya que $card(\gamma)\leq
card(I\times I)$ y si $I$ es finito, entonces $I\times I$ también lo es, y si $I$ es infinito (numerable), entonces
$card(I\times I)=card(I)=card(N)$.
Para probar que $\gamma$ es base (como ya son abiertos) hay que tomar un abierto O y x un elemento suyo. Usando que $\beta$ y $\beta^{\prime}$ son bases, se tiene que existe j con $x\in B_{j}^{\prime}\subset O$ y existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{i}^{\prime}$. De nuevo, existe i con $x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$. Por tanto, para el par $(i,j)$, consideramos $B_{ij}\in\gamma$, el cual satisface $B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_{j}^{\prime}$. En particular, $x\in B_{ij}\subset O$.
$\beta^{\prime}$ es base, existe $B_{i}^{\prime}, x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$.
Para cada para $(i,j)\in I\times I$, puede haber muchos conjuntos $B_z$. Tomamos uno y lo fijamos (usamos el axioma de elección). Y lo llamamos $B_{ij}$. Si $\gamma$ es base, ya hemos acabado, ya que $card(\gamma)\leq
card(I\times I)$ y si $I$ es finito, entonces $I\times I$ también lo es, y si $I$ es infinito (numerable), entonces
$card(I\times I)=card(I)=card(N)$.
Para probar que $\gamma$ es base (como ya son abiertos) hay que tomar un abierto O y x un elemento suyo. Usando que $\beta$ y $\beta^{\prime}$ son bases, se tiene que existe j con $x\in B_{j}^{\prime}\subset O$ y existe $B_z\in\beta$ con $x\in B_z\subset B_{i}^{\prime}$. De nuevo, existe i con $x\in B_{i}^{\prime}\subset B_z$. Por tanto, para el par $(i,j)$, consideramos $B_{ij}\in\gamma$, el cual satisface $B_{i}^{\prime}\subset B_{ij}\subset B_{j}^{\prime}$. En particular, $x\in B_{ij}\subset O$.
No hay comentarios:
Publicar un comentario