Cuando hacemos ejercicios con la compactificación de Alexandrov de un espacio $X$, usualmente tomamos $X$ como un subconjunto de $R^n$ con la topología usual (a ser posible abierto o cerrado). Entonces X es Hausdorff y localmente compacto y podemos usar el teorema de caracterización.
Propongo "compactificar" uno de los espacios tan trabajados en clase como es un conjunto con la topología del punto incluido. La pregunta que hago es qué sería la compactificación de Alexandrov de dicho espacio. Por si queréis centraros más, podemos poner $X$ la recta real y el punto fijo $p=0$.
Primero hay que añadir un nuevo punto, el "infinito". También hay que calcular los conjuntos cerrados, y también de ellos, los que son compactos. Seguir...
Tenemos de partida el espacio (R,t), con t={O€R/0 no € a O}UR. Primeramente vemos que el espacio NO es compacto (lo hicimos en clase, me parece), tomando por ejemplo R=U{{x,0}/x€R}, recubrimiento del que no se puede tomar un subrecubrimiento finito.
ResponderEliminarA continuación, tomamos el espacio (RU{inf},t*), y vamos a examinar como es esta topología y si el espacio es compacto.
t*=tU{O€RU{inf}/RU{inf}-O es cerrado y compacto de R}U{RU{inf}}
Por ser cerrado, sabemos que es un conjunto que no contiene al cero.
Para que sea compacto, tiene que ser un subconjunto finito de R, de lo contrario podríamos hacer el mismo recubrimiento de antes.
Por tanto:
t*={{O€R/0 no€ aO}UR}U{{O€RU{inf}/RU{inf}-O es finito y 0€O}RU{inf}}
Ahora el resultado recuerda mucho a la topología de los complementos finitos (que sabemos que es compacta). Si queremos hacer una partición por abiertos de RU{inf} por elementos de t*, como en alguno de esos abiertos tiene que estar {inf}, tiene que ser un abierto de los del segundo tipo. Y por tanto, lo que falta para tener RU{inf} es un conjunto finito, que obviamente se puede completar por un número finito de abiertos (Como hacíamos para demostrar que un conjunto con la topología cofinita era compacta).
Y por tanto, la compactificación de Alexandtov es ((RU{inf},t*),inclusión).
¿Será que quieres decir que la compactificación es la de los complementos finitos, o algo parecido?
ResponderEliminarNo, no quería decir que el espacio de la compactificación sea (RU{inf},tcf), porque me parece que la topología es la que he dicho, y que no coincide eactamente con la de los complementos finitos (hay abiertos que no contienen al cero y que nadie dice que su complementario tenga que ser finito). Yo a lo que me refería es a que la forma de probar que es compacto este espacio se parece mucho a la forma en la que lo probábamos para la tcf. Aunque no sé si mi topología se puede expresar de otra forma, a lo mejor, que resulte "conocida". ¿Corresponde a alguna en concreto?
ResponderEliminarHay una cosa que no comprendo bien.
ResponderEliminarEl ejercicio está planteado para hacerlo para la topología del punto incluido, pero al definir la topologia has definido la del punto excluido,¿es un error o lo has hecho para el punto excluido?
Si lo hicieramos con la topologia del punto incluido nos daría t*=tU{O€(RU{inf})/(RU{inf})-O es finito y cero€O}
Tienes razón, María, lo debí escribir mal al principio y luego he seguido con eso.
ResponderEliminarEntonces, como tenemos
t*={{OcR/0€O}UR}U{OcRU{inf}/RU{inf}-O es finito y 0€O},
parece que está claro que hablamos del espacio (RU{inf},t punto incl. 0), ¿sería finalmente esto? (como en el primer comentario solo está mal lo que he llamado t, lo demás sigue siendo válido).
Vale, al final hoy hemos hecho este mismo ejercicio; la compactificación es
ResponderEliminar((R*, t*=tU{OU{inf}/0€O,{inf}€O y R*-O finito})in), que no corresponde a la del punto incluido, ni, que yo vea, a ninguna que hayamos estudiado (sino que más bien los abiertos están bajo una confluencia de condiciones que hemos usado en otras t).