A veces, un punto determina la compacidad

A raíz del examen de ayer, voy a escribir un tipo de espacios topológicos que han salido varias veces, pero ahora vamos a poner el "teorema". Son aquéllos en los que un punto nos dice que el espacio ya es compacto. Concretamente, en un espacio topológico en el que existe un punto $p$ de forma que el único entorno de dicho punto es el propio espacio, entonces el espacio es compacto. Esto es evidente, pues dado un recubrimiento por abiertos, habrá un abierto que contenga a dicho punto $p$. Pero el único abierto que lo contiene es todo el espacio, y por tanto éste nos da el subrecubrimiento finito.

Ejemplos de espacios topológicos con esta propiedad P son los siguientes:

• El espacio topológico trivial: todo punto satisface la propiedad P.
• La topología del punto excluido: el punto que se excluye satisface P.
• En el conjunto de los números naturales con la topología que tiene por abiertos los conjuntos A_n=\{n,n+1,...\}. El punto es $p=1$.
• En el intervalo $X=[0,1]$ con la topología cuyos abiertos son, aparte de los triviales, los conjuntos de la forma, $[0,a)$. El punto es $p=1$.