En clase se ha probado que en un espacio Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados. Si el espacio no es Hausdorff, no es cierto el resultado. Un ejemplo sencillo es tomar cualquier espacio topológico finito. Entonces todo conjunto es compacto, al ser finito, pero no todo conjunto es cerrado (a no ser que el espacio tenga la topología discreta). Otro ejemplo sería un conjunto con la topología de los complementos finitos. Se sabe que la topología inducida en todo subconjunto es de nuevo la topología cofinita, es decir, todo subconjunto es compacto. Sin embargo, si el conjunto no es finito, no es cerrado ¿Podéis encontrar más ejemplos?
La otra pregunta que dejo es la de encontrar espacios que no sean Hausdorff de forma que todo conjunto compacto sea cerrado.
Por cierto, Hausdorff fue un matemático alemán que vivió hasta los años cuarenta y con un triste final (http://personal.us.es/arias/TM/06-Hausdorff.pdf y http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hausdorff.html).
Este es un ejemplo de espacio no Hausdorff donde hay conjuntos compactos que no son cerrados.
ResponderEliminarConsideramos la topología T={(a, infinito);a€R} U {R, vacío}. Este espacio no es Hausdorff. Los conjuntos compactos del espacio son aquellos acotados inferiormente que tienen mínimo y estos no son conjuntos cerrados, ya que los conjuntos cerrados de este espacio son de la forma (-infinito,a] que no están acotados inferiormente.
Otro ejemplo de un espacio NO Hausdorff donde podemos encontrar conjuntos compactos que no son cerrados es el siguiente:
ResponderEliminarConsideramos (R^2,T) donde T={B_t; t€R}U{vacío, R^2} y B_t={(x,y)€R^2; y>x+t}.
Si tomamos un conjunto B_t, se observa que es compacto y claramente no es cerrado, ya que su complementario sería el conjunto B_t'={(x,y)€R^2;y<=x+t} que no está en T.
Podemos encontrar otro ejemplo significativo en los números naturales. Considerando (N,T) donde T={B_n;n€N}U{vacío, N} y B_n={n, n+1,...}.
ResponderEliminarEste espacio no es T2, y si tomamos un conjunto de la forma B_n es compacto, ya que en este espacio todo conjunto es compacto y no es cerrado, ya que el complementario de B_n nos quedaría B_n'={1,2,3,...,n-1} que no es abierto.
soy nuevo en este tema pero me interesa excelente blog muy buenos los detalles de la historia
ResponderEliminarcomo ver que en un espacio de Hausdorff los singuletes {x} son intersección de abiertos que contienen a x.
ResponderEliminarLo mismo para cerrados que contienen a x.
quisiera saber q otro ejemplo cumple un espacio de hausdor q no sea comun en los libros
ResponderEliminarNo entiendo la pregunta.
ResponderEliminarsi, es decir ver un recipiente como un espacio y adentro de ella dos líquidos diferentes que no se mezclen o intersecten
Eliminarsi, es decir ver un recipiente como un espacio y adentro de ella dos líquidos diferentes que no se mezclen o intersecten
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