Para calcular si un punto es interior (o adherente) en un espacio topológico producto $(X\times Y,\tau_1\times\tau_2)$ podemos usar la definición o caracterizaciones que ya tenemos del tema 1. ¿Cuál es ahora la "novedad" por estar trabajando en un espacio producto?
Una primera es que el conjunto que estemos tratando sea también un producto, es decir, de la forma $A\times B$. En tal caso, el problema que tenemos "se lleva" a un problema en cada uno de los factores. Por ejemplo, para interior,$$int(A\times B)=int(A)\times int(B).$$Como ejemplo tenemos el siguiente. Supongamos que $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_1$ es la topología discreta y $\tau_2$ es la usual. Tomamos el conjunto $\mathbb{Q}\times [1,2)$. Entonces$$int(\mathbb{Q}\times [1,2))=int(\mathbb{Q})\times int([1,2)=Q\times (1,2).$$
La segunda observación es que para trabajar "bien" en la topología producto, hay que trabajar con bases de abiertos (o bases de entornos) de cada uno de los factores. Por ejemplo, tomamos $X=Y=\mathbb{R}$, $\tau_1$ la topología del punto incluido para $p=0$ y $\tau_2$ la topología generada por los intervalos de la forma $[a,\infty)$. Una base de entornos de $x$ en $\tau_1$ is $\beta_x^1=\{\{x,0\}\}$ y en $\tau_2$, $\beta_x^2=\{[x,\infty)\}$. Por tanto una base de entornos de $(x,y)$ en la topología producto es $\{\{x,1\}\times [y,\infty)\}$. Si tomamos ahora $A$ cualquier bola de $\mathbb{R}^2$, entonces no hay entornos de los anteriores dentro de $A$, es decir, su interior es el vacío.
Una pregunta, al final del todo, cuando dice que una base de entornos de $(x,y)$ en $\tau_{1}\times\tau_{2}$ es $\{\{x,1\}\times[y,\infty)\}$ ¿no sería $\{\{x,0\}\times[y,\infty)\}$
ResponderEliminarsí, es una errata.
ResponderEliminar