Conexión y soluciones de una ecuación

El próximo tema se dedica a estudiar el concepto de conexión. Éste es clave en Topología y para motivarlo vemos a continuación su relación con la existencia de soluciones de una ecuación. El siguiente ejemplo es sencillo e incluso muy simple, porque buscamos soluciones de ecuaciones en subconjuntos de los números reales $\mathbb{R}$, hay que verlo mucho más allá, en verdad, bastante más, ya que por "ecuación" y por "conjunto" uno puede pensar en cosas mucho, muchísimo más abstractas.

Consideramos $X=[0,1]\cup[2,3]$ y la aplicación $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ dada por $f(x)=-1$ si $x\in [0,1]$ y $f(x)=1$ si $x\in [2,3]$. Esta aplicación es ¡continua!. Consideramos la ecuación $f(x)=0$ y buscamos soluciones en $X$. Está claro que no hay soluciones.

Consideramos ahora $X=[0,1]$ y $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2+x+1$. De nuevo $f$ es continua y si queremos buscar soluciones de $f(x)=2$, podemos hallarlas simplemente resolviendo la ecuación.

Modificamos este ejemplo, cambiando $f$ por $f(x)=\sin(\pi x/2)+e^x-1$ y con la misma ecuación $f(x)=2$. Lo primero, e importante, es decir que uno no puede probar la existencia "resolviendo" la ecuación, ya que es imposible. Sin embargo, el valor de $f$ en los extremos de $X$ es $f(0)=1$ y $f(1)=e>2$. Aunque uno no sabe dibujar la gráfica de $f$, sabemos que $f$ une el punto $(0,1)$ con $(1,e)$ y como no podemos levantar el lápiz del papel, en algún momento cruzará con la recta $y=2$ (puede que incluso varias veces), probando que la existencia de solución. Ver el dibujo.

Olvidándonos ahora por cómo responder a la pregunta ¿pero cuál es la solución?, lo cual a veces no es importante, sí hemos probado que existe solución, que a veces sí es importante. Usando terminología de Cálculo, hemos usado el "Teorema del Valor Intermedio".

Lo que hay detrás de la existencia de soluciones es: 1) $X$ es considerado un espacio topológico, en este caso, con la topología usual (¿dónde se ha usado?), 2) $f$ es continua y 3) el hecho de que $X$ está formado por un único "trozo", a diferencia del primer ejemplo.

La conexión estudia, en cierta manera, los "trozos" de que está hecho un espacio topológico.