Esta entrada viene motivada por la demostración que estoy haciendo en otra asignatura de la licenciatura del teorema de la curva de Jordan (en su versión diferenciable). Un conjunto $C$ se dice que es una curva de Jordan si es homeomorfo al círculo $\mathbb{S}^1$. De este teorema ya se comentó en este blog, por ejemplo, aquí.
Pero para no liarnos mucho ahora, y para aquellas personas que están iniciándose en topología general, en esta entrada propongo un ejercicio de topologías cocientes.
Doy la siguiente definición. Una aplicación continua $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ se dice que es una curva cerrada y simple si existe $A>0$ con dos propiedades:
Nos podemos imaginar las curvas cerradas simples como curvas cerradas que no se autointersecan. Por ejemplo las elipses $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$, con $a,b>0$. En particular, las circunferencias.
El ejercicio es probar que $\alpha(\mathbb{R})\cong \mathbb{S}^1$, o dicho con palabras, la traza de una curva cerrada simple es una curva de Jordan.
Pero para no liarnos mucho ahora, y para aquellas personas que están iniciándose en topología general, en esta entrada propongo un ejercicio de topologías cocientes.
Doy la siguiente definición. Una aplicación continua $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ se dice que es una curva cerrada y simple si existe $A>0$ con dos propiedades:
- $\alpha(t+A)=\alpha(t)$ para cada $t\in \mathbb{R}$.
- La aplicación $\alpha$ es inyectiva en $[0,A)$.
- Para cada $n\in \mathbb{Z}$ se tiene que $\alpha(t+nA)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$.
- Si $T$ es un número tal que $\alpha(t+T)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$, entonces $T$ es de la forma $T=nA$, donde $n\in \mathbb{Z}$.
Nos podemos imaginar las curvas cerradas simples como curvas cerradas que no se autointersecan. Por ejemplo las elipses $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$, con $a,b>0$. En particular, las circunferencias.
El ejercicio es probar que $\alpha(\mathbb{R})\cong \mathbb{S}^1$, o dicho con palabras, la traza de una curva cerrada simple es una curva de Jordan.
Hola desde Perú. Mi idea para demostrar esto sería: Debido a que α es continua en [0, A] (además, α(R)= C=curva) es rectificable en este intervalo. Sin perdida de generalidad podemos asumir que la longitud total es 1. Ahora, cada punto de la traza de α está biunívocamente identificado con la longitud de arco excepto en el punto inicial y final. Esto debido a la segunda propiedad de α. Lo que hacemos es identificar estos dos puntos, o sea considerar clases de equivalencia usando una función f que va de [0, 1] a S^1 de la manera usual (considerando a S^1 como circunferencia de fases complejas) o sea, u~v si f(u)=f(v) y las clases de equivalencias serían las preimágenes f^-1 (y) . De esta manera se ve que considerando la funcion f* inducida por f en las clases de equivalencia es un homeomorfismo entre [0, 1]/~ y S^1. Entonces vemos que C también es homeomorfa a [0, 1]/~ .
ResponderEliminarMi pregunta sería si esto es correcto y se puede hacer esto más rápido.
Saludos y gracias por el blog,
Manuel
Hola Manuel. Vale que probar que $\alpha(R)$ es homeomorfo a $S^1$ es lo mismo que probar que $\alpha([0,A])$ es homeomorfo a $S^1$. Pero la pregunta (importante) es: ¿cómo sabes que la función f* es un homeomorfismo?
ResponderEliminarHola, tienes razón, no es tan obvio. Al parecer debo valerme de la definición de topología del espacio cociente. Si me permito usar la definición que encontré (cuya motivación al parecer es simplemente hacer que la función proyección sea continua) entonces los abiertos de [0, 1]/~ son simplemente uniones arbitrarias de intervalos abiertos q no tengan a 0~1 y los abiertos que "cruzan" el punto ambiguo y salen por el otro lado. Me parece fácil ver que f* es continua y además, como nos restringimos a [0, A] las clases de equivalencias son puntos en ]0, 1[ junto con {0,1}. Entonces es fácil ver que existe f*^-1 ya que justamente se identifican los puntos 0 y 1. f*^-1 debe ser continua ya que si tomamos un generador de los abiertos en [0, 1]/~ se obtiene bajo f* un abierto en S^1: en caso el abierto tomado en [0, 1]/~ sea un intervalo abierto sin contener a 0~1 entonces es claro, y si es del otro tipo, también.
ResponderEliminarTal vez deba elaborar más en algún punto importante para ver que los abiertos de [0, 1]/~ son generados por los tipos de intervalos (y los q dan la vuelta) que dije?
La aplicación f* es continua ya que $\alpha$ es continua. Para probar que f*^{-1} es continua, hay que probar que $\alpha$ es una identificación y, en este caso, esto se hace porque: 1) es continua, 2) es sobreyectiva y 3) (la parte algo más difícil) es cerrada. Y es cerrada porque $\alpha$ es una aplicación continua cuyo dominio ([0,1]) es compacto y el codominio ($S^1$) es Hausdorff.
ResponderEliminarPropongo demostrar que toda curva (plana) cerrada simple es homeomorfa a $\mathbb{S}^1$
ResponderEliminarEs un ejercicio de topología básica