Distancia producto

Igual que hemos construido el producto topológico de dos espacios topológicos, podemos definir el producto de dos espacios métricos. Así, si $(X,d)$ e $(Y,d')$ son dos espacios métricos, en $X\times Y$ podemos definir diferentes distancias relacionadas con $d$ y $d'$. Para ello, nos podemos motivar en lo que sucede en el espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$. Así tenemos:

• $d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{d(x_1,x_2)^2+d'(y_1,y_2)^2}$.
• $d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d(x_1,x_2)+d'(y_1,y_2)$.
• $d_3((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{d(x_1,x_2),d'(y_1,y_2)\}$.

Estas tres distancias son equivalentes entre sí. La demostración es parecida a lo que sucede en ${\mathbb R}^n$ con las tres distancias que teníamos definidas.

Por tanto, la topología definida es la misma para las tres distancias. Podemos probar sin muchas dificultades que coincide con la topología producto $\tau_d\times\tau_{d'}$, donde $\tau_d$ y $\tau_{d'}$ son las topologías determinadas, respectivamente, por las distancias $d$ y $d'$.