Continuamos con sucesiones

Hacemos otro ejercicio parecido al de la anterior entrada, comparando la dificultad y las diferencias entre usar la definición para hallar el interior, y la caracterización por sucesiones. En general, la prueba por sucesiones es más 'fácil' que usar la propia definición.

Sea $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x\geq 0\}$. Este conjunto es uno de los  semiplanos que divide la recta $y=x$ al plano eculídeo ${\mathbb R}^2$, incluyendo el borde. Veamos que $int(A)= \{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y-x >  0\}$. Primero probamos que dichos puntos son interiores, y luego que no hay más puntos de $A$ que lo sean.

Sea $(x,y)$ tal que $y>x$. Sea ahora $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. Hay que probar que la sucesión a partir de cierto término, se encuentra en $A$. Y ahora viene porqué es más 'fácil' usar sucesiones: porque se utilizar propiedades de convergencia de sucesiones de números reales. Así, si $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$, entonces $\{x_n\}\rightarrow x$ y $\{y_n\}\rightarrow y$. Y por tanto, $\{y_n-x_n\}\rightarrow y-x$. Como $y-x > 0$, tenemos una sucesión de números reales, a saber, $\{y_n-x_n\}$ que converge a un número positivo. Se sabe entonces que a partir de cierto lugar de la sucesión, los términos son todos positivos, es decir, a partir de cierto lugar, $y_n-x_n > 0$, y por tanto, $(x_n,y_n)\in A$.

Ahora queda probar que $(x,y)$ con $y=x$ no es un punto interior de $A$. Para ello hay que encontrar una sucesión con ningún elemento en $A$ que converja a $(x,y)$. Pero para ello basta tomar $\{(x,x-1/n)\}$ que converge a $(x,x)=(x,y)$, pero $(x-1/n)-x < 0$, luego no está en $A$.