Continuidad de una aplicación que llega a un espacio cociente

Al estudiar la continuidad de aplicaciones relacionándolo con la topología cociente, el resultado que se tiene se refiere a aplicaciones que tienen como dominio un espacio cociente: basta con componer con la proyección para ver si es continua. Entonces el problema se transforma en uno sobre continuidad entre espacios 'no cocientes'. ¿Qué pasa si en el codominio tenemos una topología cociente?
Un ejemplo de la situación es la siguiente. En ${\mathbb R}$ con la topología usual $\tau$ consideramos la relación de equivalencia $\sim$ que identifica todos los puntos del intervalo $A=[3,5]$, es decir, $$[x]=\left\{\begin{array}{ll}\{x\} & \mbox{si $x\not\in A$} \\ A & \mbox{si $x\in A$}\end{array}\right.$$  Definimos $$f: {\mathbb R}\rightarrow \frac{{\mathbb R}}{\sim}, \ \ f(x)=[x^2].$$ Para estudiar la continuidad, veamos cuál es la imagen inversa de abiertos. Sea $G\in\tau/\sim$. Entonces $$f^{-1}(G)=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in G\}.$$
Pero ¿cómo son los abiertos en $\tau/\sim$? El abierto $G$ es la imagen mediante la proyección $p:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}/\sim$ de un abierto $O\in\tau$ que es saturado, es decir, $O=p(G)$. Un abierto de este tipo satisface que si $x\in{\mathbb R}$ tiene la propiedad de que $x\sim y$, donde $y\in O$, entonces $x\in O$.  Por tanto, si el abierto $O\in\tau$ no interseca a $A$, entonces es saturado; es caso contrario, $O$ contiene a $A$. Así el abierto $(0,2)$  es saturado, pero no el intervalo $(1,4)$.
Volvamos al ejercicio. Se tiene $$f^{-1}(G)=f^{-1}(p(O))=\{x\in{\mathbb R}: [x^2]\in p(O)\}=
\{x: \exists z\in O, x^2\sim z^2\}.$$ Tomamos el abierto $G=p(O)$, donde $O=(1,2)$: como $O\cap A=\emptyset$, entonces $O$ es saturado, y $G\in\tau/\sim$. Al hacer los cuadrados, obtenemos el intervalo $(1,4)$, y el conjunto de números relacionados por $\sim$ es $(1,5]$. Entonces, se puede observar que $$f^{-1}(G)=[-\sqrt{5},-1)\cup (1,\sqrt{5}],$$que no es abierto, probando que $f$ no es continua.

Más de lo mismo, cambiando un poquito

Modifico el ejemplo anterior cambiando la forma de la aplicación. Si ahora $f$ viene dada por $f(x,y)=-x+y$, con $$f:(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow (\mathbb{R},\tau_S),$$
entonces la aplicación no es continua. La razón es que hay abiertos cuya imagen inversa no es abierto, en verdad, ninguna imagen inversa es abierto.
Las diferencias son las siguientes. La imagen inversa son de nuevo la banda entre dos rectas paralelas, incluida la recta de abajo y no la de arriba, y éstas tienen pendiente $1$, es decir, paralelas a la recta $y=x$. Al hacer $f^{-1}([m,n])$, y calcular los puntos interiores (para ver si coincide con el conjunto, el mismo razonamiento que se hizo en la entrada anterior prueba que todos los puntos de $f^{-1}((m,n))$ son interiores, es decir, la banda estrictamente entre las dos rectas (el argumento es pasando por la topología usual). Sin embargo los puntos de la recta $y=x+n$ (la recta de abajo) no son interiores. Para ello, tomamos como base de entornos de dicho punto los rectángulos que tienen como vértices de abajo izquierda el punto, es decir $$\beta_{(x,y)}=\{[x,x+r)\times [y,y+s): r,s > 0\}.$$ Entonces cualquier rectángulo de este tipo no está contenido en el conjunto: por ejemplo el punto $(x+r/2,y)$, que está en el rectángulo,  no pertenece a $f^{-1}([m,n])$ pues $$-(x+\frac{r}{2})+y=-x+\frac{r}{2}+x+m=\frac{r}{2}+n > n.$$ La conclusión es que pequeñas diferencias de la aplicación, hacen que ésta deje de ser continua.

Seguimos con la continuidad en la topología producto

Vuelvo a la aplicación $f(x,y)=x+y$, vista como  $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S).$$Ahora hemos puesto en el dominio la topología producto de la de Sorgenfrey por ella misma, y en el codominio, $\tau_S$. De nuevo, y ésta es una de las claves para realizar este ejercicio, es que podemos hallar la imagen inversa de intervalos: $$f^{-1}([m,n))=\{(x,y):m \leq x+y < n\}$$ que es la 'banda inclinada' entre las rectas $y=-x+m$ e $y=-x+n$, conteniendo a la recta $y=-x+m$, pero no a la recta $y=-x+n$. Volviendo a recordar: si probamos que la imagen inversa de de estos elementos son abiertos, es suficiente para demostrar la continuidad de la aplicación.
Hay que probar que esta banda es un conjunto abierto en $\tau_S\times\tau_S$ (¡no hay que probar que pertenece a la base $\tau_S\times\tau_S$!). Esta base está formada por rectángulos de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Entonces es fácil darse cuenta que dado un punto  $(x,y)\in f^{-1}([m,n))$, entre él y la banda se puede encontrar un rectángulo de la forma $[a,b)\times[a',b')$. Esto con un dibujo es fácil. Para los puntos entre la dos rectas, sin contener a éstas, aparte de un pequeño dibujito, también de puede hacer del siguiente modo: la banda sin las rectas es un conjunto abierto en la topología usual (ejercicio); la topología usual de ${\mathbb R}^2$ es la topología producto $\tau_u\times\tau_u$; la topología $\tau_u$ de ${\mathbb R}$ es menos fina que $\tau_S$, es decir, $\tau_u\subset\tau_S$; por tanto $\tau_u\times\tau_u\subset\tau_S\times\tau_S$, que era lo que se quería probar.
Quedaría probar que los puntos de la banda $y=-x+m$ son interiores a la banda en la topología $\tau_S\times\tau_S$. De nuevo, repito, un dibujo lo prueba fácilmente. Que uno quiere encontrar con 'fórmulas' dicho abierto, basta tomar un rectángulo cuyo vértice de la izquierda abajo sea el punto $(x,y)$: podría valer $$(x,y)\in [x,x+\frac{n-m}{2})\times [y,y+\frac{n-m}{2})\subset f^{-1}([m,n)).$$

Continuidad en espacios productos (III)

Seguimos con la misma aplicación considerando $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_u\times\tau_u)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_i).$$
Para estudiar la continuidad, no vamos a tomar todos los abiertos de $\tau_i$, sino sólo una base. Tomamos la base $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. La razón es que cada uno de estos abiertos tiene sólo dos elementos. La aplicación será continua si la imagen inversa de los elementos de $\beta_i$ es un abierto en la topología $\tau_u\times\tau_u$. Recordemos que $\tau_u\times\tau_u$ es la topología usual de ${\mathbb R}^2$, como espacio euclídeo.

Tenemos ahora $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}=\{y=-x+1\}\cup\{y=-x\}.$$ Es decir la imagen inversa son dos rectas paralelas. Sin embargo, dicho conjunto nunca es abierto (por ejemplo, debería incluir a bolas euclídeas, lo cual no es cierto). Esto prueba que $f$ no es continua. Es más, esto prueba que en ningún punto la aplicación $f$ es continua.

Continuidad en espacios productos (II)

En la entrada anterior, cambiamos en el codominio la topología, y ponemos la topología del punto incluido $\tau_i$ para el punto $p=0$. Ahora una base $\beta_i$ de $\tau_i$ es $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. Hacemos la imagen inversa de uno de estos elementos: $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}.$$ Si $x+y=a$, tenemos la recta $y=-x+a$ y si $x+y=0$, entonces $y=-x$. Por tanto, $f^{-1}(\{a,0\})$ son dos rectas (paralelas), una de ellas es $y=-x$. La cuestión ahora es si dicho conjunto es abierto.
Antes de seguir, observemos que no nos están preguntando si está en $\beta_i\times\beta_i$, es decir, en una base de la topología producto, si no en la topología que genera dicha base. Como no es fácil en un primer momento hallar dicha topología, es decir, hallar las uniones arbitrarias de elementos de $\beta_i\times\beta_i$, lo mejor parece ser estudiar qué puntos de $f^{-1}(\{a,0\})$ son interiores. Como teníamos una base de entornos, este trabajo no es difícil. Dado $(x,y)\in f^{-1}(\{a,0\})$, hay que probar $$\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\}).$$ Ahora bien, $(x,y)$ es $(x,-x+a)$ o $(x,-x)$.

En el primer caso, hay que probar que $\{(x,-x+a),(x,0),(0,-x+a),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$. Pero esto no es cierto: los puntos $(x,0)$ y $(0,-x+a)$ no tienen porqué estar.
 Para el segundo caso, tenemos que probar que $\{(x,-x),(x,0),(0,-x),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$, que tampoco es cierto en general.  Esto prueba que la aplicación no es continua.

Si queremos 'concretarlo', tomamos $O=\{1,0\}\in\tau_i$. Veamos que $f$ no es continua en el punto $(x,y)=(2,-2)$. Ya que $f(2,-2)=0$, entonces $O$ es un abierto (entorno) que contiene a $f(2,-2)$. Si fuera continua en dicho punto entonces $$\{(2,-2),(2,0),(0,-2),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{1,0\})$$
 pero $(2,0)\not\in  f^{-1}(\{1,0\})$, pues $f(2,0)=2$ que no es ni $1$ ni $0$.

Continuidad en espacios productos

Vamos a estudiar la continuidad de una aplicación cuyo dominio es un espacio producto. Consideramos como dominio ${\mathbb R}^2={\mathbb R}\times{\mathbb R}$ y como aplicación $f:{\mathbb R}^2\rightarrow{\mathbb R}$, $f(x,y)=x+y$. Lo que vamos a hacer es poner diferentes topologías tanto en el dominio como en el codominio, y en el dominio, una topología producto.

En esta entrada tomamos como topología en el dominio a ${\tau}_i\times\tau_i$, donde $\tau_i$ es la topología del punto incluido para $p=0$.  En el codominio, consideramos la topología usual $\tau_u$ de ${\mathbb R}$. Para estudiar la continuidad, hallamos la imagen inversa de la base usual de $\tau_u$. Sea un intervalo abierto $(a,b)$. Entonces $f^{-1}((a,b))=\{(x,y):x+y\in (a,b)\}$. Este conjunto es la banda que hay entre las rectas de ecuación  $y=-x+a$ y $y=-x+b$ (sin incluir los bordes). Sólo queda estudiar si dicho conjunto es abierto en ${\tau}_i\times\tau_i$. Una base de entornos de $(x,y)$ en ${\mathbb R}^2$ es
$$\beta_{(x,y)}=\{\{x,0\}\times\{y,0\}\}=\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}.$$
Pero $f^{-1}((1,3))$ no contiene al punto $(0,0)$. Por tanto, la aplicación no es continua.

Con el mismo argumento, concluimos que $f$ no es continua en $(x,y)=(1,1)$: aquí $f(1,1)=2$.

Continuidad en la topología de Sorgenfrey

Aplicamos el resultado de la entrada anterior a un ejemplo que he mostrado muchas veces. En la topología de Sorgenfrey $\tau_S$, estudiamos la continuidad de la aplicación $f:({\mathbb R},\tau_S)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_S)$ dada por $f(x)=x^2$.

Cuando hacemos $f^{-1}([a,b))$ para $a>0$, tenemos $$f^{-1}([a,b))=(-\sqrt{b},-\sqrt{a}]\cup [\sqrt{a},\sqrt{b}).$$
Este conjunto no es abierto, pues su interior es $(-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup [\sqrt{a},\sqrt{b})$. Por tanto, la aplicación no es continua en $x=-\sqrt{a}$. Ya que esto es válido para todos los intervalos de la forma $[a,b)$, con $a>0$, lo que hemos probado es que $f$ no es continua, al menos, en $(-\infty,0)$.

Efectivamente, vamos a verlo con más detalle para un punto concreto, por ejemplo, $x=-2$, y siguiendo la demostración (por contradicción) que se hizo en la entrada anterior. Sabemos que $f(-2)=4$ y tomamos como abierto de $4$ el conjunto $[4,5)$. Sabiendo que una base de entornos de $x$ es $\beta_x=\{[x,x+r): r > 0\}$, si $f$ es continua en $x=-2$, existirá $r > 0$ tal que $f([-2,2+r))\subset [4,5)$. Además podemos cambiar dicho $r$ por otro positivo con $r < 1$. Sin embargo $f([-2,-2+r))=(\sqrt{-2+r},4]$, que no está incluido en $[4,5)$.