Modifico el ejemplo anterior cambiando la forma de la aplicación. Si ahora $f$ viene dada por $f(x,y)=-x+y$, con $$f:(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\tau_S\times\tau_S)\rightarrow (\mathbb{R},\tau_S),$$
entonces la aplicación no es continua. La razón es que hay abiertos cuya imagen inversa no es abierto, en verdad, ninguna imagen inversa es abierto.
Las diferencias son las siguientes. La imagen inversa son de nuevo la banda entre dos rectas paralelas, incluida la recta de abajo y no la de arriba, y éstas tienen pendiente $1$, es decir, paralelas a la recta $y=x$. Al hacer $f^{-1}([m,n])$, y calcular los puntos interiores (para ver si coincide con el conjunto, el mismo razonamiento que se hizo en la entrada anterior prueba que todos los puntos de $f^{-1}((m,n))$ son interiores, es decir, la banda estrictamente entre las dos rectas (el argumento es pasando por la topología usual). Sin embargo los puntos de la recta $y=x+n$ (la recta de abajo) no son interiores. Para ello, tomamos como base de entornos de dicho punto los rectángulos que tienen como vértices de abajo izquierda el punto, es decir $$\beta_{(x,y)}=\{[x,x+r)\times [y,y+s): r,s > 0\}.$$ Entonces cualquier rectángulo de este tipo no está contenido en el conjunto: por ejemplo el punto $(x+r/2,y)$, que está en el rectángulo, no pertenece a $f^{-1}([m,n])$ pues $$-(x+\frac{r}{2})+y=-x+\frac{r}{2}+x+m=\frac{r}{2}+n > n.$$ La conclusión es que pequeñas diferencias de la aplicación, hacen que ésta deje de ser continua.
entonces la aplicación no es continua. La razón es que hay abiertos cuya imagen inversa no es abierto, en verdad, ninguna imagen inversa es abierto.
Las diferencias son las siguientes. La imagen inversa son de nuevo la banda entre dos rectas paralelas, incluida la recta de abajo y no la de arriba, y éstas tienen pendiente $1$, es decir, paralelas a la recta $y=x$. Al hacer $f^{-1}([m,n])$, y calcular los puntos interiores (para ver si coincide con el conjunto, el mismo razonamiento que se hizo en la entrada anterior prueba que todos los puntos de $f^{-1}((m,n))$ son interiores, es decir, la banda estrictamente entre las dos rectas (el argumento es pasando por la topología usual). Sin embargo los puntos de la recta $y=x+n$ (la recta de abajo) no son interiores. Para ello, tomamos como base de entornos de dicho punto los rectángulos que tienen como vértices de abajo izquierda el punto, es decir $$\beta_{(x,y)}=\{[x,x+r)\times [y,y+s): r,s > 0\}.$$ Entonces cualquier rectángulo de este tipo no está contenido en el conjunto: por ejemplo el punto $(x+r/2,y)$, que está en el rectángulo, no pertenece a $f^{-1}([m,n])$ pues $$-(x+\frac{r}{2})+y=-x+\frac{r}{2}+x+m=\frac{r}{2}+n > n.$$ La conclusión es que pequeñas diferencias de la aplicación, hacen que ésta deje de ser continua.
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