En la entrada anterior, cambiamos en el codominio la topología, y ponemos la topología del punto incluido $\tau_i$ para el punto $p=0$. Ahora una base $\beta_i$ de $\tau_i$ es $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. Hacemos la imagen inversa de uno de estos elementos: $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}.$$ Si $x+y=a$, tenemos la recta $y=-x+a$ y si $x+y=0$, entonces $y=-x$. Por tanto, $f^{-1}(\{a,0\})$ son dos rectas (paralelas), una de ellas es $y=-x$. La cuestión ahora es si dicho conjunto es abierto.
Antes de seguir, observemos que no nos están preguntando si está en $\beta_i\times\beta_i$, es decir, en una base de la topología producto, si no en la topología que genera dicha base. Como no es fácil en un primer momento hallar dicha topología, es decir, hallar las uniones arbitrarias de elementos de $\beta_i\times\beta_i$, lo mejor parece ser estudiar qué puntos de $f^{-1}(\{a,0\})$ son interiores. Como teníamos una base de entornos, este trabajo no es difícil. Dado $(x,y)\in f^{-1}(\{a,0\})$, hay que probar $$\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\}).$$ Ahora bien, $(x,y)$ es $(x,-x+a)$ o $(x,-x)$.
En el primer caso, hay que probar que $\{(x,-x+a),(x,0),(0,-x+a),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$. Pero esto no es cierto: los puntos $(x,0)$ y $(0,-x+a)$ no tienen porqué estar.
Para el segundo caso, tenemos que probar que $\{(x,-x),(x,0),(0,-x),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$, que tampoco es cierto en general. Esto prueba que la aplicación no es continua.
Si queremos 'concretarlo', tomamos $O=\{1,0\}\in\tau_i$. Veamos que $f$ no es continua en el punto $(x,y)=(2,-2)$. Ya que $f(2,-2)=0$, entonces $O$ es un abierto (entorno) que contiene a $f(2,-2)$. Si fuera continua en dicho punto entonces $$\{(2,-2),(2,0),(0,-2),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{1,0\})$$
pero $(2,0)\not\in f^{-1}(\{1,0\})$, pues $f(2,0)=2$ que no es ni $1$ ni $0$.
Antes de seguir, observemos que no nos están preguntando si está en $\beta_i\times\beta_i$, es decir, en una base de la topología producto, si no en la topología que genera dicha base. Como no es fácil en un primer momento hallar dicha topología, es decir, hallar las uniones arbitrarias de elementos de $\beta_i\times\beta_i$, lo mejor parece ser estudiar qué puntos de $f^{-1}(\{a,0\})$ son interiores. Como teníamos una base de entornos, este trabajo no es difícil. Dado $(x,y)\in f^{-1}(\{a,0\})$, hay que probar $$\{(x,y),(x,0),(0,y),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\}).$$ Ahora bien, $(x,y)$ es $(x,-x+a)$ o $(x,-x)$.
En el primer caso, hay que probar que $\{(x,-x+a),(x,0),(0,-x+a),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$. Pero esto no es cierto: los puntos $(x,0)$ y $(0,-x+a)$ no tienen porqué estar.
Para el segundo caso, tenemos que probar que $\{(x,-x),(x,0),(0,-x),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{a,0\})$, que tampoco es cierto en general. Esto prueba que la aplicación no es continua.
Si queremos 'concretarlo', tomamos $O=\{1,0\}\in\tau_i$. Veamos que $f$ no es continua en el punto $(x,y)=(2,-2)$. Ya que $f(2,-2)=0$, entonces $O$ es un abierto (entorno) que contiene a $f(2,-2)$. Si fuera continua en dicho punto entonces $$\{(2,-2),(2,0),(0,-2),(0,0)\}\subset f^{-1}(\{1,0\})$$
pero $(2,0)\not\in f^{-1}(\{1,0\})$, pues $f(2,0)=2$ que no es ni $1$ ni $0$.
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