Seguimos con la misma aplicación considerando $$f:({\mathbb R}\times{\mathbb R},\tau_u\times\tau_u)\rightarrow ({\mathbb R},\tau_i).$$
Para estudiar la continuidad, no vamos a tomar todos los abiertos de $\tau_i$, sino sólo una base. Tomamos la base $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. La razón es que cada uno de estos abiertos tiene sólo dos elementos. La aplicación será continua si la imagen inversa de los elementos de $\beta_i$ es un abierto en la topología $\tau_u\times\tau_u$. Recordemos que $\tau_u\times\tau_u$ es la topología usual de ${\mathbb R}^2$, como espacio euclídeo.
Tenemos ahora $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}=\{y=-x+1\}\cup\{y=-x\}.$$ Es decir la imagen inversa son dos rectas paralelas. Sin embargo, dicho conjunto nunca es abierto (por ejemplo, debería incluir a bolas euclídeas, lo cual no es cierto). Esto prueba que $f$ no es continua. Es más, esto prueba que en ningún punto la aplicación $f$ es continua.
Para estudiar la continuidad, no vamos a tomar todos los abiertos de $\tau_i$, sino sólo una base. Tomamos la base $\beta_i=\{\{a,0\}:a\in{\mathbb R}\}$. La razón es que cada uno de estos abiertos tiene sólo dos elementos. La aplicación será continua si la imagen inversa de los elementos de $\beta_i$ es un abierto en la topología $\tau_u\times\tau_u$. Recordemos que $\tau_u\times\tau_u$ es la topología usual de ${\mathbb R}^2$, como espacio euclídeo.
Tenemos ahora $$f^{-1}(\{a,0\})=\{(x,y):x+y\in \{a,0\}\}=\{y=-x+1\}\cup\{y=-x\}.$$ Es decir la imagen inversa son dos rectas paralelas. Sin embargo, dicho conjunto nunca es abierto (por ejemplo, debería incluir a bolas euclídeas, lo cual no es cierto). Esto prueba que $f$ no es continua. Es más, esto prueba que en ningún punto la aplicación $f$ es continua.
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